冯诺依曼图熵（VNGE）Python实现及近似计算

简介

冯·诺依曼图熵（VNGE）有助于测量图序列中图之间的信息差异和距离。

给定第一个无向图 G=(V,E,A)G=(V, E, A)G=(V,E,A), 其中 AAA 是对称的邻接矩阵。度矩阵定义为 D=diag(d1,...,dn)D=diag(d_1,...,d_n)D=diag(d1,...,dn)，则它的拉普拉斯矩阵为 L=D−AL=D-AL=D−A。其中后者的特征值 λi\lambda_iλi 被称为拉普拉斯谱。这里，Hvn(G)H_{vn}(G)Hvn(G) 为冯诺依曼图熵（von Neumann graph entropy）。

Hvn(G)=−∑i=1n(λivol(G)log⁡λivol(G))H_{vn}(G)=-\sum \limits_{i=1}^{n}(\frac{\lambda_i}{vol(G)}\log\frac{\lambda_i}{vol(G)})Hvn(G)=−i=1∑n(vol(G)λilogvol(G)λi)

图的容量为 vol(G)=∑i=1nλi=trace(L)vol(G)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=trace(L)vol(G)=∑i=1nλi=trace(L)。时间复杂度较高，是 O(n3)O(n^3)O(n3)。

我提供了Python版本代码来计算VNGE。应该注意的是陈等人给出了一种称为FINGER [1]的近似方法，该方法将VNGE的三次复杂度降低为节点和边的数量的线性复杂度。

VNGE和FINGER的代码如下。

代码

# Name: VNGE
# Author: Reacubeth
# Time: 2021/1/25 16:01
# Mail: noverfitting@gmail.com
# Site: www.omegaxyz.com
# *_*coding:utf-8 *_*import time
import numpy as np
from scipy.sparse.linalg.eigen.arpack import eigshdef normalized_laplacian(adj_matrix):nodes_degree = np.sum(adj_matrix, axis=1)nodes_degree_sqrt = 1/np.sqrt(nodes_degree)degree_matrix = np.diag(nodes_degree_sqrt)eye_matrix = np.eye(adj_matrix.shape[0])return eye_matrix - degree_matrix * adj_matrix * degree_matrixdef unnormalized_laplacian(adj_matrix):nodes_degree = np.sum(adj_matrix, axis=1)degree_matrix = np.diag(nodes_degree)return degree_matrix - adj_matrixdef VNGE_exact(adj_matrix):start = time.time()nodes_degree = np.sum(adj_matrix, axis=1)c = 1.0 / np.sum(nodes_degree)laplacian_matrix = c * unnormalized_laplacian(adj_matrix)eigenvalues, _ = np.linalg.eig(laplacian_matrix)eigenvalues[eigenvalues < 0] = 0pos = eigenvalues > 0H_vn = - np.sum(eigenvalues[pos] * np.log2(eigenvalues[pos]))print('H_vn exact:', H_vn)print('Time:', time.time() - start)def VNGE_FINGER(adj_matrix):start = time.time()nodes_degree = np.sum(adj_matrix, axis=1)c = 1.0 / np.sum(nodes_degree)edge_weights = 1.0 * adj_matrix[np.nonzero(adj_matrix)]approx = 1.0 - np.square(c) * (np.sum(np.square(nodes_degree)) + np.sum(np.square(edge_weights)))laplacian_matrix = unnormalized_laplacian(adj_matrix)'''eigenvalues, _ = np.linalg.eig(laplacian_matrix)eig_max = c * max(eigenvalues)'''eig_max, _ = eigsh(laplacian_matrix, 1, which='LM')eig_max = eig_max[0] * cH_vn = - approx * np.log2(eig_max)print('H_vn approx:', H_vn)print('Time:', time.time() - start)nodes_num = 3000
sparsity = 0.01tmp_m = np.random.uniform(0, 1, (nodes_num, nodes_num))
pos1 = tmp_m > sparsity
pos2 = tmp_m <= sparsity
tmp_m[pos1] = 0
tmp_m[pos2] = 1
tmp_m = np.triu(tmp_m)
adj_m = tmp_m + np.transpose(tmp_m)VNGE_exact(adj_m)
VNGE_FINGER(adj_m)

结果

H_vn exact: 11.496599468152386
Time: 13.172455072402954
H_vn approx: 10.63029083591871
Time: 0.23734617233276367

[1] Chen, Pin-Yu, et al. “Fast incremental von neumann graph entropy computation: Theory, algorithm, and applications.” International Conference on Machine Learning. PMLR, 2019.

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