深入理解数据结构之树
文章目录
- 1 前言
- 1.1 结点概念
- 1.2 树结点声明
- 2 树
- 2.1 树的定义
- 2.2 结点的度
- 2.3 结点关系
- 2.4 结点层次
- 2.5 树的深度
- 2.6 树的叶子结点
- 3 二叉树
- 3.1 定义
- 3.2 二叉树特点
- 3.3 二叉树性质
- 3.4 斜树
- 3.5 满二叉树
- 3.6 完全二叉树
- 3.7 二叉树的存储结构
- 3.7.1 顺序存储
- 3.7.2 二叉链表
- 3.8 二叉树遍历
- 3.8.1 定义
- 3.8.2 前序遍历
- 3.8.3 中序遍历
- 3.8.4 后序遍历
- 3.8.5 层次遍历
- 3.8.6 遍历常考考点
- 3.8.6.1 已知前序和中序遍历序列,确定二叉树
- 3.8.6.2 已知后序和中序遍历序列,确定二叉树
- 4 结语
1 前言
树
是数据结构中的重中之重,尤其以各类二叉树
为学习的难点。一直以来,对于树的掌握都是模棱两可的状态,现在希望通过写一个关于二叉树的专题系列。在学习与总结的同时更加深入的了解掌握二叉树。本系列文章将着重介绍一般二叉树、完全二叉树、满二叉树、线索二叉树、霍夫曼树、二叉排序树、平衡二叉树、红黑树
1.1 结点概念
结点
是数据结构中的基础,是构成复杂数据结构的基本组成单位
1.2 树结点声明
本系列文章中提及的结点专指树的结点
。例如:结点A
在图中表示为:
2 树
2.1 树的定义
树(Tree
)是n
(n>=0
)个结点的有限集
。n=0
时称为空树
。在任意一颗非空树中:
- 有且仅有一个特定的称为根(
Root
)的结点; - 当
n>1
时,其余结点可分为m(m>0)
个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn
,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。
此外,树的定义还需要强调
以下两点:
n>0
时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。m>0
时,子树
的个数没有限制
,但它们一定是互不相交的。
示例树,下图所示为一棵普通的树:
图2.1 普通树
由树的定义可以看出,树的定义使用了递归
的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用
2.2 结点的度
结点
拥有的子树数目
称为结点的度
图2.2
中标注了图2.1
所示树的各个结点的度
图2.2 度示意图
2.3 结点关系
结点子树的根结点
为该结点的孩子结点
。相应该结点称为孩子结点的双亲结点
图2.2
中,A
为B
的双亲结点
,B
为A
的孩子结点
。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点
。
图2.2
中,结点B
与结点C
互为兄弟结点。
2.4 结点层次
从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。
图2.3
表示了图2.1
所示树的层次关系
图2.3 层示意图
2.5 树的深度
树中结点的最大层次数
称为树的深度
或高度
。图2.1
所示树的深度为4
2.6 树的叶子结点
叶结点
是树的底部段中的结点,叶结点不具有
子结点。叶结点的结构比中间结点的结构稍微复杂一些。以便在格式化的叶结点中保存多个条目
如下图所示:
3 二叉树
3.1 定义
二叉树是n(n>=0)
个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树
),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树
和右子树
组成。
图3.1展示了一棵普通二叉树:
图3.1 二叉树
3.2 二叉树特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点:
- 每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于
2
的结点。 左子树
和右子树
是有顺序的,次序不能任意颠倒。- 即使树中某结点只有一棵子树,也要
区分
它是左子树还是右子树。
3.3 二叉树性质
- 在二叉树的第
i
层上最多有2i-1个节点(i>=1)
- 二叉树中如果深度为
k
,那么最多有2k-1个节点。(k>=1)
- n0=n2+1,其中n0表示
度数为0
的节点数,n2表示度数为2
的节点数。 - 在完全二叉树中,具有
n
个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整
- 若对含
n
个结点的完全二叉树从上到下
且从左至右
进行1
至n
的编号,则对完全二叉树
中任意一个编号为i
的结点有如下特性:
- 若
i=1
,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为[i/2]
的结点为其双亲结点;- 若
2i>n
,则该结点无左孩子, 否则,编号为2i
的结点为其左孩子结点;- 若
2i+1>n
,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1
的结点为其右孩子结点
3.4 斜树
斜树:所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树
。所有结点都是只有右子树
的二叉树叫右斜树
。这两者统称为斜树
。
图3.2 左斜树
图3.3 右斜树
3.5 满二叉树
满二叉树:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在
左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有:
- 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
- 非叶子结点的度一定是
2
- 在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。
图3.4 满二叉树
3.6 完全二叉树
完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。
图3.5
展示一棵完全二叉树
图3.5 完全二叉树
特点:
- 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
- 最下层的叶子结点集中在树的左部。
- 倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。
- 如果结点度为
1
,则该结点只有左孩子,即没有右子树。 - 同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。
注:满二叉树一定是完全二叉树,但反过来不一定成立。
3.7 二叉树的存储结构
3.7.1 顺序存储
二叉树的顺序存储
结构就是使用一维数组
存储二叉树中的结点
,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。
图3.6
图3.6
所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式,如图3.7表示:
图3.7 顺序存储
由图3.7
可以看出,当二叉树为完全二叉树时,结点数刚好填满数组。
那么当二叉树不为完全二叉树时,采用顺序存储形式如何呢?例如:对于图3.8描述的二叉树:
图3.8
其中浅色结点
表示结点不存在
。那么图3.8
所示的二叉树的顺序存储结构如图3.9
所示:
图3.9
其中,∧
表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现,顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。
那么对于图3.3
所示的右斜树极端情况对应的顺序存储结构如图3.10
所示:
图3.10
由图3.10
可以看出,对于这种右斜树极端情况,采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此,顺序存储一般适用于完全二叉树
3.7.2 二叉链表
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求,那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知,二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此,可以将结点数据结构定义为一个数据
和两个指针域
。表示方式如图3.11
所示:
图3.11
则图3.6
所示的二叉树可以采用图3.12
表示。
图3.12
图3.12
中采用一种链表结构存储二叉树,这种链表称为二叉链表。
3.8 二叉树遍历
二叉树的遍历一个重点考查的知识点。
3.8.1 定义
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点
出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种:
- 前序遍历
- 中序遍历
- 后序遍历
- 层序遍历
3.8.2 前序遍历
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据
,按照先向左在向右的方向访问。
图3.13
图3.13
所示二叉树访问如下:
从根结点出发,则第一次到达结点
A
,故输出A
; 继续向左访问,第一次访问结点B
,故输出B
;
按照同样规则,输出D
,输出H
;
当到达叶子结点H
,返回到D
,此时已经是第二次到达D
,故不在输出D
,进而向D
右子树访问,D
右子树不为空,则访问至I
,第一次到达I
,则输出I
;
I
为叶子结点,则返回到D
,D
左右子树已经访问完毕,则返回到B
,进而到B
右子树,第一次到达E
,故输出E
;
向E
左子树,故输出J
; 按照同样的访问规则,继续输出C、F、G
;
则图3.13
所示二叉树的前序遍历输出为:
ABDHIEJCFG
3.8.3 中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据
,按照先向左在向右的方向访问
图3.13
所示二叉树中序访问如下:
从根结点出发,则第一次到达结点
A
,不输出A
,继续向左访问,第一次访问结点B
,不输出B
;继续到达D
,H
;
到达H
,H
左子树为空,则返回到H
,此时第二次访问H
,故输出H
;H
右子树为空,则返回至D
,此时第二次到达D
,故输出D
;
由D
返回至B
,第二次到达B
,故输出B
; 按照同样规则继续访问,输出J、E、A、F、C、G
;
则图3.13
所示二叉树的中序遍历输出为:
HDIBJEAFCG
3.8.4 后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据
,按照先向左在向右的方向访问。
图3.13
所示二叉树后序访问如下:
从根结点出发,则第一次到达结点
A
,不输出A
,继续向左访问,第一次访问结点B
,不输出B
;继续到达D
,H
;
到达H
,H
左子树为空,则返回到H
,此时第二次访问H
,不输出H
;H
右子树为空,则返回至H
,此时第三次到达H
,故输出H
;
由H
返回至D
,第二次到达D
,不输出D
; 继续访问至I
,I
左右子树均为空,故第三次访问I时,输出I
; 返回至D
,此时第三次到达D
,故输出D
;
按照同样规则继续访问,输出J、E、B、F、G、C,A
;
则图3.13
所示二叉树的后序遍历输出为:
HIDJEBFGCA
虽然二叉树的遍历过程看似繁琐,但是由于二叉树是一种递归定义的结构,故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。
3.8.5 层次遍历
层次遍历就是按照树的层次自上而下
的遍历二叉树。针对图3.13
所示二叉树的层次遍历结果为:
ABCDEFGHIJ
3.8.6 遍历常考考点
对于二叉树的遍历有一类典型题型
3.8.6.1 已知前序和中序遍历序列,确定二叉树
例题
:若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF
,中序遍历为CBAEDF
,请画出这棵二叉树。
分析:前序遍历第一个输出结点为根结点,故A
为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间,故结点A
的左子树中结点有CB
,右子树中结点有EDF
。
如图3.14
所示:
图3.14
按照同样的分析方法,对A
的左右子树进行划分,最后得出二叉树的形态如图3.15
所示:
图3.15
3.8.6.2 已知后序和中序遍历序列,确定二叉树
后序遍历中最后访问的为根结点,因此可以按照上述同样的方法,找到根结点后分成两棵子树,进而继续找到子树的根结点,一步步确定二叉树的形态。
注
:已知前序遍历序列和后序遍历序列,不可以唯一确定一棵二叉树。
4 结语
通过上述的介绍,已经对于二叉树有了初步的认识。本篇文章介绍的基础知识希望读者能够牢牢掌握,并且能够在脑海中建立一棵二叉树的模型,为后续学习打好基础
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