最小环问题 ( Floyed )

hdu1599

解题报告：
要通过此题就要明白 floyedfloyedfloyed 算法原理及其每步的含义。

     for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);}}}其本质就是动态规划 k作为阶段必须置于最外层，i，j作为附加状态置于内层mp<k,i,j>可以理解为 经过若干个编号不超过k的节点从i到j的最短路，进而转化为两个子问题：1.经过给若干个编号不超过k-1的节点从i到j最短路2.节点i经过k节点到j节点因此： mp<k,i,j> = min(mp<k-1,i,j>, mp<k-1,i,k> + mp<k-1,k,j>)再通滚动数组优化得到 mp<i,j>在枚举每次的ki时，我们就已经求出来 1~k-1之间的最短路。

回到本题求最小环:
假设存在一条最小环 u−v−k−uu-v-k-uu−v−k−u,既然是最小环，当拆掉 u−vu-vu−v时，v−k−uv-k-uv−k−u就是(u,v)(u,v)(u,v)最短路。
再回到前面floyed算法每次枚举 kik_iki 的时候我们就已经求出来1~k-1之间的最短路，前 k−1k-1k−1 个的点不包含 kkk 节点且它们之间的最短路径之间也不经过 kkk 节点。
从前 k−1k-1k−1 个点中取两点 i，ji，ji，j ，(i,j)(i,j)(i,j) 之间的最短路已经求得且不经过节点 kkk，再跟据floyed原理以k为中间节点进行更新得到最小环 i−j−k−ii-j-k-ii−j−k−i。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL  long long
#define pii pair<LL,int>
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define wp(x) write(x),putchar('\n')
#define wpl(x) write(x),putchar(' ')
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 5;
inline int read() {int s = 0, f = 1;char  ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0'; ch = getchar();}return s * f;
}
inline void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'), x = -x;if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
int mp[105][105],g[105][105];
int main(){int n,m,u,v,w;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) g[i][j]=mp[i][j]=(i==j)?0:1e8;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);g[u][v]=mp[u][v]=min(mp[u][v],w);g[v][u]=mp[v][u]=min(mp[v][u],w);}int ans=1e8;for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<k;i++){for(int j=i+1;j<k;j++){ans=min(ans,mp[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);}}}if(ans==1e8) printf("No solution.\n");else printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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