计算两个对应点集之间的旋转矩阵R和转移矩阵T

这篇文章的相应数学推到在这个地方，有兴趣的可以瞧一瞧计算两个点集合的旋转矩阵R和T的数学推导
假设有两个点集A和B，且这两个点集合的元素数目相同且一一对应。为了寻找这两个点集之间的旋转矩阵 R R R和转移矩阵 t t t。可以将这个问题建模成如下的公式：
B = R ∗ A + t B = R*A+t B=R∗A+t
为了寻找 R R R和 t t t，通常需要一下三个步骤：

计算点集合的中心点

将点集合移动到原点，计算最优旋转矩阵 R R R

计算转移矩阵 t t t

计算中心点

P = [ x y z ] μ A = 1 N ∑ i = 1 N P A i μ B = 1 N ∑ i = 1 N P B i P = \left[ \begin{matrix} x\\ y \\ z\end{matrix} \right] \\ \mu_A = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} P_{A}^i \\ \mu_B = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} P_{B}^i P=⎣⎡xyz⎦⎤μA=N1i=1∑NPAiμB=N1i=1∑NPBi

将点集合移动到原点，计算最优旋转矩阵 R R R

为了计算旋转矩阵 R R R，需要消除转移矩阵 t t t的影响，所以我们首先需要将点集重新中心化，生成新点集合 A ′ A' A′ 和 B ′ B' B′，然后计算性的点集之间的协方差矩阵：

点集重新中心化

A i ′ = { P A i − μ A } B i ′ = { P B i − μ B } A'_i = \{ P_A^i-\mu_A\} \\ B'_i = \{ P_B^i-\mu_B \} Ai′={PAi−μA}Bi′={PBi−μB}
注意其中的， P A i P_A^i PAi 、$ P_B^i$ 、 μ A \mu_A μA和 μ B \mu_B μB不是标量是向量。

计算点集之间的协方差矩阵H

H = ∑ i = 1 N A i ′ B i ′ T = ∑ i = 1 N ( P A i − μ A ) ( P B i − μ B ) T H = \sum_{i=1}^{N}A_{i}^{'} {B_{i}^{'}}^T \\ = \sum_{i=1}^{N} (P_A^i-\mu_A)(P_B^i-\mu_B)^T H=i=1∑NAi′Bi′T=i=1∑N(PAi−μA)(PBi−μB)T
通过SVD方法获得矩阵的 U U U、 S S S和 V V V,可以计算点集之间的旋转矩阵 R R R

[ U , S , V ] = S V D ( H ) R = V U T \left[ U,S,V\right] = SVD(H) \\ R = VU^T [U,S,V]=SVD(H)R=VUT

计算转移矩阵 t t t

最后，通过 R R R可以获得转移矩阵 t t t
t = − R × μ A + μ B t = -R\times \mu_A + \mu_B t=−R×μA+μB

下面通过python代码编写一个小例子验证一下上面的公式。
下面这个例子，首先通过随机函数生成两个三维点集A，旋转矩阵 R R R和 t t t。通过公式 B = R A T + t B=RA^T+t B=RAT+t获得新的点集B。然后通过上述的方法计算点集A和B之间的旋转矩阵 R ′ R' R′和 t ’ t’ t’，通过公式 B ′ = R ′ A T + t ′ B'=R'A^T+t' B′=R′AT+t′生成新的点集合B’。并计算两个点集合之间的RMSE。

from numpy import *
from math import sqrt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as pltdef rigid_transform_3D(A, B):assert len(A) == len(B)N = A.shape[0];mu_A = mean(A, axis=0)mu_B = mean(B, axis=0)AA = A - tile(mu_A, (N, 1))BB = B - tile(mu_B, (N, 1))H = transpose(AA) * BBU, S, Vt = linalg.svd(H)R = Vt.T * U.Tif linalg.det(R) < 0:print "Reflection detected"Vt[2, :] *= -1R = Vt.T * U.Tt = -R * mu_A.T + mu_B.Treturn R, tif __name__=='__main__':R = mat(random.rand(3,3))t = mat(random.rand(3,1))U,S,Vt = linalg.svd(R)R = U*Vtif linalg.det(R) < 0:Vt[2,:]*=-1R = U*Vtn = 10A = mat(random.rand(n,3))B = R*A.T + tile(t,(1,n))B = B.Tret_R, ret_t = rigid_transform_3D(A,B)A2 = (ret_R*A.T)+ tile(ret_t,(1,n))A2 =A2.Terr = A2-Berr = multiply(err,err)err = sum(err)rmse = sqrt(err/n)print "points A2"print A2print ""print "points B"print Bprint ""print rmsefig = plt.figure()ax=fig.add_subplot(111,projection='3d')ax.scatter(A[:,0],A[:,1],A[:,2])ax.scatter(B[:,0],B[:,1],B[:,2],s=100,marker='x')ax.scatter(A2[:,0],A2[:,1],A2[:,2],s=100,marker= 'o')plt.legend()plt.show()

通过上述代码生成的点集 B ′ B' B′和 B B B中的所有元素如下所示：

points A2
[[0.65985419 1.60528398 1.38340275][0.92739301 1.68052107 0.90692937][0.3398634  1.20672748 1.24869353][0.76117272 1.46282089 1.35712503][0.45657103 1.17657746 0.9993309 ][0.86068981 1.76370772 0.53447625][0.46723696 0.98764769 1.06947054][0.67152812 1.00675099 0.73363394][0.3102857  1.23971537 0.86977264][0.495524   1.10873545 0.93223688]]points B
[[0.65985419 1.60528398 1.38340275][0.92739301 1.68052107 0.90692937][0.3398634  1.20672748 1.24869353][0.76117272 1.46282089 1.35712503][0.45657103 1.17657746 0.9993309 ][0.86068981 1.76370772 0.53447625][0.46723696 0.98764769 1.06947054][0.67152812 1.00675099 0.73363394][0.3102857  1.23971537 0.86977264][0.495524   1.10873545 0.93223688]]

上面小程序的可视化结果如下所示。其中，绿色的圆球和红色的"X"分别表示利用上述方法生成点集 B ′ B' B′和 B B B。蓝色的小圆球表示点集合 A A A。

【引用】

Finding optimal rotation and translation between corresponding 3D points