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Matrix Differentiation
加权最小二乘法与局部加权线性回归
卡尔曼滤波与组合导航原理(1-2讲)

最小二乘估计

Z=HX+VZ = HX + VZ=HX+V
where, Z is the mmm dimension observation vector; XXX is a nnn dimension state vector; HHH is a m∗nm * nm∗n matrix; VVV is noise vector, E(V)=0,Cov(V)=E(VVT)=RE(V) = 0, Cov(V) = E(VV^T) = RE(V)=0,Cov(V)=E(VVT)=R

优化方程如下
min∣∣Z−HX∣∣2min ||Z-HX||^2min∣∣Z−HX∣∣2

对XXX求导，令其结果为0, 求出XXX的最小方差估计

X^=(HTH)−1HTZ\hat{X} = (H^TH)^{-1}H^TZX^=(HTH)−1HTZ

加权最小二乘估计

优化方程如下，相当与加入了信息矩阵（协方差矩阵的逆）
min(Z−HX)TR−1(Z−HX)min (Z-HX)^TR^{-1}(Z-HX)min(Z−HX)TR−1(Z−HX)

对XXX求导，令其结果为0, 求出XXX的最优估计
X^=(HTR−1H)−1HTR−1Z\hat{X} = (H^TR^{-1}H)^{-1}H^TR^{-1}ZX^=(HTR−1H)−1HTR−1Z

递推最小二乘法

分别对方差阵和状态估计进行递推，其实就是用上一时刻信息来表示当前状态的估计

由于从Pk−1P_{k-1}Pk−1计算PkP_kPk需要求逆，这太烦了，利用矩阵求逆的公式。大概思路是，AAA是一个分块矩阵，写成两个三角阵的矩阵乘积，然后求inverse得到对应的求逆公式。

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