图的计算(1):图的矩阵表示
关联矩阵(incidence matrix)
设G=(V,E)是一简单图(有向或无向),|V|=n,|E|=m ,并且设V={v1,v2,¼,vn} , E={e1,e2,¼,em}已被强行命名。则 定义n´m阶矩阵B=(bij) n´m为图G的关联矩阵。
(1)若G是有向图,则
(2)若G是无向图,则
可达矩阵(reachable matrix)
设G=(V,E)是一简单图(有向或无向),|V|=n ,并且设V={v1,v2,¼,vn}已被强行命名。则 定义n阶方阵
R=(rij) n´n ,其中
为图G的可达矩阵。
注:(1)对于有向图
从结点vi可达结点vjÛ从结点vi到结点vj至少有一条有向路
从结点vi不可达结点vjÛ从结点vi到结点vj没有有向路
(2)对于无向图
从结点vi可达结点vjÛ从结点vi到结点vj至少有一条路
从结点vi不可达结点vjÛ从结点vi到结点vj没有路。
邻接矩阵的布尔幂
设G=(V,E)是一简单图(有向或无向), n阶方阵A是图G 的邻接矩阵。则 递归的定义邻接矩阵A的布尔幂
(1)A(1)=A;
(2)A(m+1)= A(m)ÙA;
其中:(1£i£n,1£j£n) 。
可达矩阵的计算方法一:Warshall算法(1962年)
No1.R:=ANo2.k:=1No3.i:=1No4.for k:=1 step 1 until n dorij := rij(rikrkj)No5.i:=i+1;if in then goto No4No6.k:=k+1;if kn then goto No3No7.if kn then exit
可达矩阵 R=AÚ A(2) Ú A(3) Ú ¼Ú A(n)
注: ·这里Ú是矩阵的布尔和运算。
·两个矩阵的布尔和运算就是其对应元素做二元布尔和运算。
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