实验要求

在第一次作业中的第二小题，练习了根据信号的波形写出对应信号的表达式。但在实际中，我们观测到的信号往往是在示波器上的波形，此时该如何获得这些波形的数学表达式？

本质上讲，实际信号中都会带有随机性，是没有确定的数学表达式的。但在某些情况下，我们是预先知道信号的类型的，比如正弦波，但不知道信号的一些参数。例如幅值、频率和相位。如果这些参数知道了，便可以写出对应的信号数学表达式了。在这种情况下，从观测到的带有噪声的信号波形中回复处信号，则属于信号参数估计的内容了。

在实际应用中，信号的参数往往非常重要。下面举一个例子：如果手边只有一个万用表，但没有能够测量电容、电感的RCL桥，为了想知道一个电容器件的准确容值，可以将待测的电容与一个电阻串联在一起。电阻的阻值可以使用万用表精确测量。使用一个信号源产生一个正弦波信号施加在RC串联电路上，使用示波器同时测量信号源的信号以及RC分压后的信号。

根据电路原理，可以知道上述电路稳态输入输出正弦信号之间的关系如下：

因此，输入输出正弦信号的幅度之比为：

输入输出正弦信号的相位差为：

所以，只要能够测量出U，V两个正弦信号的幅度或者相位，频率，再加上已知电阻阻值R\1.，便可以计算出来待测电容的容值。

已知上面的串联电路中的电阻\nR\1.=1009欧姆。示波器显示波形的数值可以通过已经存储在CH12.MAT中，数值的采样时间间隔fs=10微妙。

请根据以上分析，求出待测电容\nC\1.的容值是多少。

提示：在MATLAB中通过load()命令读取CH12.MAT中的数据；

ch12(:,1) 是V的数据， ch12(:,2)是U的数据。

使用MATLAB中fit命令来估计数据中的参数。 f = fit(x,y,'fourier1')

上面fit命令输出 f(x)=a0+a1cos(xw)+b1sin(xw) 中的a0,a1,b1,w等参数。

使用MATLAB计算出现的问题

使用MATLAB计算步骤调入数据并绘制波形图

load ch12'

t = linspace(0, 1400*10e-6,1400)'

plot(t,ch12(:,1), t, ch12(:, 2))'

(2)使用MATLAB 计算正弦波形参数

f1 = fit(t, ch12(:,1), 'fourier1')'

f2 = fit(t, ch12(:,2), 'fourier1')

f1: a0:119.1442, a1:-1.6132, b1:27.3382, omiga:2481

f2: a0:150.0722, a1:64.1255, b1:43.5524, omiga:2481

2. 使用MATLAB计算出现的问题

使用上述参数利用两个公式计算，会出现1.5倍的差异。

相关的矢量方差如下图所示：

从MATLAB通过剪切板得到数据

首先在MATLAB命令窗口使用如下命令将CH12数据拷贝到WINDOWS剪切板。

cc(ch12)

然后通过下面的PYTHON程序将剪切板上的数据转换成两个数组，分别对应的输出和输入信号的采集的数据。

pastestr = clipboard.paste().strip('[').strip(']').split(';')

data1=[]

data2=[]

for s in pastestr:

ss = s.split(' ')

data1.append(int(ss[0]))

data2.append(int(ss[1]))

plt.plot(data1)

plt.plot(data2)

tspsave('CH12', ch1=data1, ch2=data2)

printf('\a')

plt.show()

进行函数拟合和参数计算

程序代码如下：

#!/usr/local/bin/python

# -*- coding: gbk -*-

#============================================================

# TEST2.PY -- by Dr. ZhuoQing 2020-02-28

#

# Note:

#============================================================

from headm import *

from scipy.optimize import leastsq

ch1, ch2 = tspload('CH12', 'ch1', 'ch2')

#------------------------------------------------------------

def make_sine_graph( params, xData):

"""

take amplitudes A and phases P in form [ C, A0, A1, A2, ..., An, P0, P1,..., Pn ]

and construct function f = C +A0 sin( w t + P0) + A1 sin( 2 w t + Pn ) + ... + An sin( n w t + Pn )

and return f( x )

"""

fr = params[0]

C = params[1]

npara = params[2:]

lp =len( npara )

amps = npara[ : lp // 2 ]

phases = npara[ lp // 2 : ]

fact = range(1, lp // 2 + 1 )

return [ sum( [ a * sin( 2 * pi * x * f * fr + p ) for a, p, f in zip( amps, phases, fact ) ]) + C for x in xData ]

def sine_residuals( params , xData, yData):

yTh = make_sine_graph( params, xData )

diff = [ y - yt for y, yt in zip( yData, yTh ) ]

return diff

def sine_fit_graph( xData, yData, freqGuess=100., dcGuess=100,sineorder = 3 ):

aStart = sineorder * [ 0 ]

aStart0[]( yData "0")

pStart = sineorder * [ 0 ]

result, _ = leastsq( sine_residuals, [ freqGuess, dcGuess ] + aStart + pStart, args=( xData, yData ) )

return result

#------------------------------------------------------------

if __name__ == '__main__':

ch1 = [c / 255 for c in ch1]

ch2 = [c / 255 for c in ch2]

t = linspace(0, 1400*10e-6, 1400, endpoint=False)

result1 = sine_fit_graph(t, ch1, freqGuess=2481/2/pi, dcGuess=0.5, sineorder=1)

result2 = sine_fit_graph(t, ch2, freqGuess=2481/2/pi, dcGuess=0.5, sineorder=1)

printf(result1, result2)

plt.plot(t, make_sine_graph(result1, t))

plt.plot(t, ch1)

plt.plot(t, make_sine_graph(result2, t))

plt.plot(t, ch2)

tspsave('fitresult', result1=result1, result2=result2)

printf(tan(result2[3] - result1[3]))$$C = {{\tan \theta } \over {2\pi f \cdot R}} = {{\sqrt {1 - \alpha ^2 } } \over \alpha } \cdot {1 \over {2\pi f \cdot R}}$$

alpha = result1[2] / result2[2]

printf(sqrt(1-alpha**2)/alpha)

plt.show()

#------------------------------------------------------------

# END OF FILE : TEST2.PY

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根据上面的PYTHON程序重新计算输入和输出相应的数据对应的正弦参数，数据如下，所得到的估计参数与MATLAB相同。

输出波形拟合正弦参数：

[ 3.95138209e+02 4.67232082e-01 1.07395207e-01 -5.89407332e-02]

输入波形数据拟合正弦参数：

[3.95096587e+02 5.88518451e-01 3.03988482e-01 9.74184940e-01]

tan(theta)=1.6770990200351208

sqrt(1-a**2)/a=2.6480303891707053