高等数学（第七版）同济大学习题11-3 （后4题）个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题11-3（后4题）

函数作图软件：Mathematica

8. 验证下列 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 在整个 x O y 平面内是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，并求这样的一个 u ( x , y ) ： \begin{aligned}&8. \ 验证下列P(x, \ y)dx+Q(x, \ y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x, \ y)的全微分，并求这样的一个u(x, \ y)：&\end{aligned} 8. 验证下列P(x, y)dx+Q(x, y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x, y)的全微分，并求这样的一个u(x, y)：

( 1 ) ( x + 2 y ) d x + ( 2 x + y ) d y ； ( 2 ) 2 x y d x + x 2 d y ； ( 3 ) 4 s i n x s i n 3 y c o s x d x − 3 c o s 3 y c o s 2 x d y ； ( 4 ) ( 3 x 2 y + 8 x y 2 ) d x + ( x 3 + 8 x 2 y + 12 y e y ) d y ； ( 5 ) ( 2 x c o s y + y 2 c o s x ) d x + ( 2 y s i n x − x 2 s i n y ) d y . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ (x+2y)dx+(2x+y)dy；\\\\ &\ \ (2)\ \ 2xydx+x^2dy；\\\\ &\ \ (3)\ \ 4sin\ xsin\ 3ycos\ xdx-3cos\ 3ycos\ 2xdy；\\\\ &\ \ (4)\ \ (3x^2y+8xy^2)dx+(x^3+8x^2y+12ye^y)dy；\\\\ &\ \ (5)\ \ (2xcos\ y+y^2cos\ x)dx+(2ysin\ x-x^2sin\ y)dy. & \end{aligned} (1) (x+2y)dx+(2x+y)dy； (2) 2xydx+x2dy； (3) 4sin xsin 3ycos xdx−3cos 3ycos 2xdy； (4) (3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy； (5) (2xcos y+y2cos x)dx+(2ysin x−x2sin y)dy.

解：

( 1 ) 在整个 x O y 面内，函数 P = x + 2 y ， Q = 2 x + y 具有一阶连续偏导数，且 ∂ Q ∂ x = 2 = ∂ P ∂ y ，因此所给表达式是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，取 ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) ，则 u ( x , y ) = ∫ 0 x x d x + ∫ 0 y ( 2 x + y ) d y = x 2 2 + 2 x y + y 2 2 . ( 2 ) 在整个 x O y 面内，函数 P = 2 x y ， Q = x 2 具有一阶连续偏导数，且 ∂ Q ∂ x = 2 x = ∂ P ∂ y ，因此所给表达式是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，取 ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) ，则 u ( x , y ) = ∫ 0 x 2 x ⋅ 0 d x + ∫ 0 y x 2 d y = x 2 y . ( 3 ) 在整个 x O y 面内，函数 P = 4 s i n x s i n 3 y c o s x ， Q = − 3 c o s 3 y c o s 2 x 具有一阶连续偏导数，且 ∂ Q ∂ x = 6 c o s 3 y s i n 2 x = ∂ P ∂ y ，因此所给表达式是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，取 ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) ，则 u ( x , y ) = ∫ 0 x 0 ⋅ d x + ∫ 0 y ( − 3 c o s 3 y c o s 2 x ) d y = [ − s i n 3 y c o s 2 x ] 0 1 = − c o s 2 x s i n 3 y . ( 4 ) 在整个 x O y 面内，函数 P = 3 x 2 y + 8 x y 2 ， Q = x 3 + 8 x 2 y + 12 y e y 具有一阶连续偏导数，且 ∂ Q ∂ x = 3 x 2 + 16 x y = ∂ P ∂ y ，因此所给表达式是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，取 ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) ，则 u ( x , y ) = ∫ 0 x 0 ⋅ d x + ∫ 0 y ( x 3 + 8 x 2 y + 12 y e y ) d y = x 3 y + 4 x 2 y 2 + 12 ( y e y − e y ) . ( 5 ) 在整个 x O y 面内，函数 P = 2 x c o s y + y 2 c o s x ， Q = 2 y s i n x − x 2 s i n y 具有一阶连续偏导数，且 ∂ Q ∂ x = 2 y c o s x − 2 x s i n y = ∂ P ∂ y ，因此所给表达式是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，取 ( x 0 , y 0 ) = ( 0 , 0 ) ，则 u ( x , y ) = ∫ 0 x 2 x d x + ∫ 0 y ( 2 y s i n x − x 2 s i n y ) d y = y 2 s i n x + x 2 c o s y . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 在整个xOy面内，函数P=x+2y，Q=2x+y具有一阶连续偏导数，且\frac{\partial Q}{\partial x}=2=\frac{\partial P}{\partial y}，因此所给表达式\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 是某一函数u(x, \ y)的全微分，取(x_0, \ y_0)=(0, \ 0)，则u(x,\ y)=\int_{0}^{x}xdx+\int_{0}^{y}(2x+y)dy=\frac{x^2}{2}+2xy+\frac{y^2}{2}.\\\\ &\ \ (2)\ 在整个xOy面内，函数P=2xy，Q=x^2具有一阶连续偏导数，且\frac{\partial Q}{\partial x}=2x=\frac{\partial P}{\partial y}，因此所给表达式是\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 某一函数u(x, \ y)的全微分，取(x_0, \ y_0)=(0, \ 0)，则u(x,\ y)=\int_{0}^{x}2x\cdot 0dx+\int_{0}^{y}x^2dy=x^2y.\\\\ &\ \ (3)\ 在整个xOy面内，函数P=4sin\ xsin\ 3ycos\ x，Q=-3cos\ 3ycos\ 2x具有一阶连续偏导数，且\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial Q}{\partial x}=6cos\ 3ysin\ 2x=\frac{\partial P}{\partial y}，因此所给表达式是某一函数u(x, \ y)的全微分，取(x_0, \ y_0)=(0, \ 0)，则\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ u(x,\ y)=\int_{0}^{x}0\cdot dx+\int_{0}^{y}(-3cos\ 3ycos\ 2x)dy=[-sin\ 3ycos\ 2x]_{0}^{1}=-cos\ 2xsin\ 3y.\\\\ &\ \ (4)\ 在整个xOy面内，函数P=3x^2y+8xy^2，Q=x^3+8x^2y+12ye^y具有一阶连续偏导数，且\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial Q}{\partial x}=3x^2+16xy=\frac{\partial P}{\partial y}，因此所给表达式是某一函数u(x, \ y)的全微分，取(x_0, \ y_0)=(0, \ 0)，则\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ u(x,\ y)=\int_{0}^{x}0\cdot dx+\int_{0}^{y}(x^3+8x^2y+12ye^y)dy=x^3y+4x^2y^2+12(ye^y-e^y).\\\\ &\ \ (5)\ 在整个xOy面内，函数P=2xcos\ y+y^2cos\ x，Q=2ysin\ x-x^2sin\ y具有一阶连续偏导数，且\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial Q}{\partial x}=2ycos\ x-2xsin\ y=\frac{\partial P}{\partial y}，因此所给表达式是某一函数u(x, \ y)的全微分，取(x_0, \ y_0)=(0, \ 0)，则\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ u(x,\ y)=\int_{0}^{x}2xdx+\int_{0}^{y}(2ysin\ x-x^2sin\ y)dy=y^2sin\ x+x^2cos\ y. & \end{aligned} (1) 在整个xOy面内，函数P=x+2y，Q=2x+y具有一阶连续偏导数，且∂x∂Q=2=∂y∂P，因此所给表达式是某一函数u(x, y)的全微分，取(x0, y0)=(0, 0)，则u(x, y)=∫0xxdx+∫0y(2x+y)dy=2x2+2xy+2y2. (2) 在整个xOy面内，函数P=2xy，Q=x2具有一阶连续偏导数，且∂x∂Q=2x=∂y∂P，因此所给表达式是某一函数u(x, y)的全微分，取(x0, y0)=(0, 0)，则u(x, y)=∫0x2x⋅0dx+∫0yx2dy=x2y. (3) 在整个xOy面内，函数P=4sin xsin 3ycos x，Q=−3cos 3ycos 2x具有一阶连续偏导数，且 ∂x∂Q=6cos 3ysin 2x=∂y∂P，因此所给表达式是某一函数u(x, y)的全微分，取(x0, y0)=(0, 0)，则 u(x, y)=∫0x0⋅dx+∫0y(−3cos 3ycos 2x)dy=[−sin 3ycos 2x]01=−cos 2xsin 3y. (4) 在整个xOy面内，函数P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey具有一阶连续偏导数，且 ∂x∂Q=3x2+16xy=∂y∂P，因此所给表达式是某一函数u(x, y)的全微分，取(x0, y0)=(0, 0)，则 u(x, y)=∫0x0⋅dx+∫0y(x3+8x2y+12yey)dy=x3y+4x2y2+12(yey−ey). (5) 在整个xOy面内，函数P=2xcos y+y2cos x，Q=2ysin x−x2sin y具有一阶连续偏导数，且 ∂x∂Q=2ycos x−2xsin y=∂y∂P，因此所给表达式是某一函数u(x, y)的全微分，取(x0, y0)=(0, 0)，则 u(x, y)=∫0x2xdx+∫0y(2ysin x−x2sin y)dy=y2sin x+x2cos y.

9. 设有一变力在坐标轴上的投影为 X = x 2 + y 2 ， Y = 2 x y − 8 ，这变力确定了一个力场，证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关 . \begin{aligned}&9. \ 设有一变力在坐标轴上的投影为X=x^2+y^2，Y=2xy-8，这变力确定了一个力场，证明质点在此\\\\&\ \ \ \ 场内移动时，场力所作的功与路径无关.&\end{aligned} 9. 设有一变力在坐标轴上的投影为X=x2+y2，Y=2xy−8，这变力确定了一个力场，证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.

解：

场力所作的功 W = ∫ L X d x + Y d y = ∫ L ( x 2 + y 2 ) d x + ( 2 x y − 8 ) d y ，因为在整个 x O y 面内，函数 P = x 2 + y 2 ， Q = 2 x y − 8 具有一阶连续偏导数，且 ∂ Q ∂ x = 2 y = ∂ P ∂ y ，所以曲线积分在 x O y 面内与路径无关，即场力所作的功与路径无关 . \begin{aligned} &\ \ 场力所作的功W=\int_{L}Xdx+Ydy=\int_{L}(x^2+y^2)dx+(2xy-8)dy，因为在整个xOy面内，\\\\ &\ \ 函数P=x^2+y^2，Q=2xy-8具有一阶连续偏导数，且\frac{\partial Q}{\partial x}=2y=\frac{\partial P}{\partial y}，所以曲线积分在xOy面内与路径无关，\\\\ &\ \ 即场力所作的功与路径无关. & \end{aligned} 场力所作的功W=∫LXdx+Ydy=∫L(x2+y2)dx+(2xy−8)dy，因为在整个xOy面内，函数P=x2+y2，Q=2xy−8具有一阶连续偏导数，且∂x∂Q=2y=∂y∂P，所以曲线积分在xOy面内与路径无关，即场力所作的功与路径无关.

10. 判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解 . \begin{aligned}&10. \ 判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解.&\end{aligned} 10. 判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解.

( 1 ) ( 3 x 2 + 6 x y 2 ) d x + ( 6 x 2 y + 4 y 2 ) d y = 0 ； ( 2 ) ( a 2 − 2 x y − y 2 ) d x − ( x + y ) 2 d y = 0 （ a 为常数）； ( 3 ) e y d x + ( x e y − 2 y ) d y = 0 ； ( 4 ) ( x c o s y + c o s x ) y ′ − y s i n x + s i n y = 0 ； ( 5 ) ( x 2 − y ) d x − x d y = 0 ； ( 6 ) y ( x − 2 y ) d x − x 2 d y = 0 ； ( 7 ) ( 1 + e 2 θ ) d ρ + 2 ρ e 2 θ d θ = 0 ； ( 8 ) ( x 2 + y 2 ) d x + x y d y = 0. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ (3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^2)dy=0；\\\\ &\ \ (2)\ \ (a^2-2xy-y^2)dx-(x+y)^2dy=0\ （a为常数）；\\\\ &\ \ (3)\ \ e^ydx+(xe^y-2y)dy=0；\\\\ &\ \ (4)\ \ (xcos\ y+cos\ x)y'-ysin\ x+sin\ y=0；\\\\ &\ \ (5)\ \ (x^2-y)dx-xdy=0；\\\\ &\ \ (6)\ \ y(x-2y)dx-x^2dy=0；\\\\ &\ \ (7)\ \ (1+e^{2\theta})d\rho+2\rho e^{2\theta}d\theta=0；\\\\ &\ \ (8)\ \ (x^2+y^2)dx+xydy=0. & \end{aligned} (1) (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y2)dy=0； (2) (a2−2xy−y2)dx−(x+y)2dy=0 （a为常数）； (3) eydx+(xey−2y)dy=0； (4) (xcos y+cos x)y′−ysin x+sin y=0； (5) (x2−y)dx−xdy=0； (6) y(x−2y)dx−x2dy=0； (7) (1+e2θ)dρ+2ρe2θdθ=0； (8) (x2+y2)dx+xydy=0.

解：

( 1 ) ∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( 3 x 2 + 6 x y 2 ) = 12 x y ， ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( 6 x 2 y + 4 y 2 ) = 12 x y ，因为 ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ，所以原方程是全微分方程。 u ( x , y ) = u ( x , y ) = ∫ 0 x P ( x , 0 ) d x + ∫ 0 y Q ( x , y ) d y = ∫ 0 x 3 x 2 d x + ∫ 0 y ( 6 x 2 y + 4 y 2 ) d y = x 3 + 3 x 2 y 2 + 4 3 y 3 ，通解为 x 3 + 3 x 2 y 2 + 4 3 y 3 = C . ( 2 ) ∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( a 2 − 2 x y − y 2 ) = − 2 x − 2 y ， ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x [ − ( x + y ) 2 ] = − 2 x − 2 y ，因为 ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ，所以原方程是全微分方程。 u ( x , y ) = u ( x , y ) = ∫ 0 x P ( x , 0 ) d x + ∫ 0 y Q ( x , y ) d y = ∫ 0 x a 2 d x − ∫ 0 y ( x + y ) 2 d y = a 2 − 1 3 ( x + y ) 3 + 1 3 x 3 = a 2 x − x 2 y − x y 2 − 1 3 y 3 ，通解为 a 2 x − x 2 y − x y 2 − 1 3 y 3 = C . ( 3 ) ∂ P ∂ y = ∂ ∂ y e y = e y ， ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( x e y − 2 y ) = e y ，因为 ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ，所以原方程是全微分方程。 e y d x + ( x e y − 2 y ) d y = ( e y d x + x e y d y ) − 2 y d y = d ( x e y ) − d ( y 2 ) = d ( x e y − y 2 ) ，原方程为 d ( x e y − y 2 ) = 0 ，通解为 x e y − y 2 = C . ( 4 ) 原方程改写为 ( s i n y − y s i n x ) d x + （ x c o s y + c o s x ) d y = 0 ， ∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( s i n y − y s i n x ) = c o s y − s i n x ， ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( x c o s y + c o s x ) = c o s y − s i n x ，因为 ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ，所以原方程是全微分方程。 ( x c o s y + c o s x ) y ′ − y s i n x + s i n y = ( s i n y − y s i n x ) d x + ( x c o s y + c o s x ) d y = ( s i n y d x + x c o s y d y ) + ( − y s i n x d x + c o s x d y ) = d ( x s i n y ) + d ( y c o s x ) ，即原方程为 d ( x s i n y + y c o s x ) = 0 ，通解为 x s i n y + y c o s x = C . ( 5 ) ∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( x 2 − y ) = − 1 ， ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( − x ) = − 1 ，因为 ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ，所以原方程是全微分方程。 ( x 2 − y ) d x − x d y = x 2 d x − ( y d x + x d y ) = d ( x 3 3 ) − d ( x y ) ，即原方程为 d ( x 3 3 − x y ) = 0 ，通解为 x 3 3 − x y = C . ( 6 ) ∂ P ∂ y = ∂ ∂ y [ y ( x − 2 y ) ] = x − 4 y ， ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( − x 2 ) = − 2 x ，因为 ∂ P ∂ y ≢ ∂ Q ∂ x ，所以原方程不是全微分方程。 ( 7 ) ∂ P ∂ θ = ∂ ∂ θ ( 1 + e 2 θ ) = 2 e 2 θ ， ∂ Q ∂ ρ = ∂ ∂ ρ ( 2 ρ e 2 θ ) = 2 e 2 θ ，因为 ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ，所以原方程是全微分方程。 ( 1 + e 2 θ ) d ρ + 2 ρ e 2 θ d θ = d ρ + ( e 2 θ d ρ + 2 ρ e 2 θ d θ ) = d ρ + d ( ρ e 2 θ ) ，即原方程为 d ( ρ + ρ e 2 θ ) = 0 ，通解为 ρ + ρ e 2 θ = C . ( 8 ) ∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( x 2 + y 2 ) = 2 y ， ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( x y ) = y ，因为 ∂ P ∂ y ≢ ∂ Q ∂ x ，所以原方程不是全微分方程。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^2+6xy^2)=12xy，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(6x^2y+4y^2)=12xy，因为\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程是全微分方程。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ u(x,\ y)=u(x,\ y)=\int_{0}^{x}P(x, \ 0)dx+\int_{0}^{y}Q(x, \ y)dy=\int_{0}^{x}3x^2dx+\int_{0}^{y}(6x^2y+4y^2)dy=x^3+3x^2y^2+\frac{4}{3}y^3，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 通解为x^3+3x^2y^2+\frac{4}{3}y^3=C.\\\\ &\ \ (2)\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(a^2-2xy-y^2)=-2x-2y，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}[-(x+y)^2]=-2x-2y，因为\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程是\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 全微分方程。u(x,\ y)=u(x,\ y)=\int_{0}^{x}P(x, \ 0)dx+\int_{0}^{y}Q(x, \ y)dy=\int_{0}^{x}a^2dx-\int_{0}^{y}(x+y)^2dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ a^2-\frac{1}{3}(x+y)^3+\frac{1}{3}x^3=a^2x-x^2y-xy^2-\frac{1}{3}y^3，通解为a^2x-x^2y-xy^2-\frac{1}{3}y^3=C.\\\\ &\ \ (3)\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}e^y=e^y，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xe^y-2y)=e^y，因为\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程是全微分方程。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ e^ydx+(xe^y-2y)dy=(e^ydx+xe^ydy)-2ydy=d(xe^y)-d(y^2)=d(xe^y-y^2)，原方程为d(xe^y-y^2)=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 通解为xe^y-y^2=C.\\\\ &\ \ (4)\ 原方程改写为(sin\ y-ysin\ x)dx+（xcos\ y+cos\ x)dy=0，\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(sin\ y-ysin\ x)=cos\ y-sin\ x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xcos\ y+cos\ x)=cos\ y-sin\ x，因为\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程是全微分方程。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (xcos\ y+cos\ x)y'-ysin\ x+sin\ y=(sin\ y-ysin\ x)dx+(xcos\ y+cos\ x)dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (sin\ ydx+xcos\ ydy)+(-ysin\ xdx+cos\ xdy)=d(xsin\ y)+d(ycos\ x)，即原方程为d(xsin\ y+ycos\ x)=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 通解为xsin\ y+ycos\ x=C.\\\\ &\ \ (5)\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2-y)=-1，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-x)=-1，因为\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程是全微分方程。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (x^2-y)dx-xdy=x^2dx-(ydx+xdy)=d\left(\frac{x^3}{3}\right)-d(xy)，即原方程为d\left(\frac{x^3}{3}-xy\right)=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 通解为\frac{x^3}{3}-xy=C.\\\\ &\ \ (6)\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}[y(x-2y)]=x-4y，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-x^2)=-2x，因为\frac{\partial P}{\partial y}\not\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程不是全微分方程。\\\\ &\ \ (7)\ \frac{\partial P}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(1+e^{2\theta})=2e^{2\theta}，\frac{\partial Q}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(2\rho e^{2\theta})=2e^{2\theta}，因为\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程是全微分方程。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (1+e^{2\theta})d\rho+2\rho e^{2\theta}d\theta=d\rho+(e^{2\theta}d\rho+2\rho e^{2\theta}d\theta)=d\rho+d(\rho e^{2\theta})，即原方程为d(\rho+\rho e^{2\theta})=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 通解为\rho+\rho e^{2\theta}=C.\\\\ &\ \ (8)\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=2y，\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y，因为\frac{\partial P}{\partial y}\not\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}，所以原方程不是全微分方程。 & \end{aligned} (1) ∂y∂P=∂y∂(3x2+6xy2)=12xy，∂x∂Q=∂x∂(6x2y+4y2)=12xy，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程是全微分方程。 u(x, y)=u(x, y)=∫0xP(x, 0)dx+∫0yQ(x, y)dy=∫0x3x2dx+∫0y(6x2y+4y2)dy=x3+3x2y2+34y3，通解为x3+3x2y2+34y3=C. (2) ∂y∂P=∂y∂(a2−2xy−y2)=−2x−2y，∂x∂Q=∂x∂[−(x+y)2]=−2x−2y，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程是全微分方程。u(x, y)=u(x, y)=∫0xP(x, 0)dx+∫0yQ(x, y)dy=∫0xa2dx−∫0y(x+y)2dy= a2−31(x+y)3+31x3=a2x−x2y−xy2−31y3，通解为a2x−x2y−xy2−31y3=C. (3) ∂y∂P=∂y∂ey=ey，∂x∂Q=∂x∂(xey−2y)=ey，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程是全微分方程。 eydx+(xey−2y)dy=(eydx+xeydy)−2ydy=d(xey)−d(y2)=d(xey−y2)，原方程为d(xey−y2)=0，通解为xey−y2=C. (4) 原方程改写为(sin y−ysin x)dx+（xcos y+cos x)dy=0，∂y∂P=∂y∂(sin y−ysin x)=cos y−sin x， ∂x∂Q=∂x∂(xcos y+cos x)=cos y−sin x，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程是全微分方程。 (xcos y+cos x)y′−ysin x+sin y=(sin y−ysin x)dx+(xcos y+cos x)dy= (sin ydx+xcos ydy)+(−ysin xdx+cos xdy)=d(xsin y)+d(ycos x)，即原方程为d(xsin y+ycos x)=0，通解为xsin y+ycos x=C. (5) ∂y∂P=∂y∂(x2−y)=−1，∂x∂Q=∂x∂(−x)=−1，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程是全微分方程。 (x2−y)dx−xdy=x2dx−(ydx+xdy)=d(3x3)−d(xy)，即原方程为d(3x3−xy)=0，通解为3x3−xy=C. (6) ∂y∂P=∂y∂[y(x−2y)]=x−4y，∂x∂Q=∂x∂(−x2)=−2x，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程不是全微分方程。 (7) ∂θ∂P=∂θ∂(1+e2θ)=2e2θ，∂ρ∂Q=∂ρ∂(2ρe2θ)=2e2θ，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程是全微分方程。 (1+e2θ)dρ+2ρe2θdθ=dρ+(e2θdρ+2ρe2θdθ)=dρ+d(ρe2θ)，即原方程为d(ρ+ρe2θ)=0，通解为ρ+ρe2θ=C. (8) ∂y∂P=∂y∂(x2+y2)=2y，∂x∂Q=∂x∂(xy)=y，因为∂y∂P≡∂x∂Q，所以原方程不是全微分方程。

11. 确定常数 λ ，使在右半平面 x > 0 上的向量 A ( x , y ) = 2 x y ( x 4 + y 2 ) λ i − x 2 ( x 4 + y 2 ) λ j 为某二元函数 u ( x , y ) 的梯度，并求 u ( x , y ) . \begin{aligned}&11. \ 确定常数\lambda，使在右半平面x \gt 0上的向量A(x,\ y)=2xy(x^4+y^2)^{\lambda}i-x^2(x^4+y^2)^{\lambda}j为某二元函数\\\\&\ \ \ \ \ \ u(x, \ y)的梯度，并求u(x, \ y).&\end{aligned} 11. 确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量A(x, y)=2xy(x4+y2)λi−x2(x4+y2)λj为某二元函数 u(x, y)的梯度，并求u(x, y).

解：

在单连通区域 G 内，如果 P ( x , y ) ， Q ( x , y ) 具有一阶连续偏导数，则向量 A ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j 为某二元函数 u ( x , y ) 的梯度的充分必要条件是 ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x 在 G 内恒成立，因为 P ( x , y ) = 2 x y ( x 4 + y 2 ) λ ， Q ( x , y ) = − x 2 ( x 4 + y 2 ) λ ， ∂ P ∂ y = 2 x ( x 4 + y 2 ) λ + 2 λ x y ( x 4 + y 2 ) λ − 1 ⋅ 2 y ， ∂ Q ∂ x = − 2 x ( x 4 + y 2 ) λ − x 2 λ ( x 4 + y 2 ) λ − 1 ⋅ 4 x 3 ，根据 ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x 得 4 x ( x 4 + y 2 ) λ ( 1 + λ ) = 0 ，因为 4 x ( x 4 + y 2 ) λ > 0 ，所以 λ = − 1 ，即 A ( x , y ) = 2 x y i − x 2 j x 4 + y 2 ，在半平面 x > 0 内，取 ( x 0 , y 0 ) = ( 1 , 0 ) ，得 u ( x , y ) = ∫ 1 x 2 x ⋅ 0 x 4 + 0 2 d x − ∫ 0 y x 2 x 4 + y 2 d y = − a r c t a n y x 2 . \begin{aligned} &\ \ 在单连通区域G内，如果P(x,\ y)，Q(x, \ y)具有一阶连续偏导数，则向量A(x, \ y)=P(x, \ y)i+Q(x, \ y)j为\\\\ &\ \ 某二元函数u(x, \ y)的梯度的充分必要条件是\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}在G内恒成立，因为P(x, \ y)=2xy(x^4+y^2)^{\lambda}，\\\\ &\ \ Q(x, \ y)=-x^2(x^4+y^2)^{\lambda}，\frac{\partial P}{\partial y}=2x(x^4+y^2)^{\lambda}+2\lambda xy(x^4+y^2)^{\lambda-1}\cdot 2y，\\\\ &\ \ \frac{\partial Q}{\partial x}=-2x(x^4+y^2)^{\lambda}-x^2\lambda(x^4+y^2)^{\lambda-1}\cdot 4x^3，根据\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}得4x(x^4+y^2)^{\lambda}(1+\lambda)=0，因为4x(x^4+y^2)^{\lambda} \gt 0，\\\\ &\ \ 所以\lambda=-1，即A(x, \ y)=\frac{2xyi-x^2j}{x^4+y^2}，在半平面x \gt 0内，取(x_0, \ y_0)=(1,\ 0)，得\\\\ &\ \ u(x, \ y)=\int_{1}^{x}\frac{2x\cdot 0}{x^4+0^2}dx-\int_{0}^{y}\frac{x^2}{x^4+y^2}dy=-arctan\ \frac{y}{x^2}. & \end{aligned} 在单连通区域G内，如果P(x, y)，Q(x, y)具有一阶连续偏导数，则向量A(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j为某二元函数u(x, y)的梯度的充分必要条件是∂y∂P=∂x∂Q在G内恒成立，因为P(x, y)=2xy(x4+y2)λ， Q(x, y)=−x2(x4+y2)λ，∂y∂P=2x(x4+y2)λ+2λxy(x4+y2)λ−1⋅2y， ∂x∂Q=−2x(x4+y2)λ−x2λ(x4+y2)λ−1⋅4x3，根据∂y∂P=∂x∂Q得4x(x4+y2)λ(1+λ)=0，因为4x(x4+y2)λ>0，所以λ=−1，即A(x, y)=x4+y22xyi−x2j，在半平面x>0内，取(x0, y0)=(1, 0)，得 u(x, y)=∫1xx4+022x⋅0dx−∫0yx4+y2x2dy=−arctan x2y.