如何判断线性方程组是一个解还是无穷个解

在上图中，不知道大家有木有这样的疑问，为什么有解的时候要么就是只有一个解，要么就是有无穷的解，没有其他情况吗？

其实，根据线性系统（目前可以理解为多元一次方程组）的特性：加保留，乘保留，可以推导出来若有两个解，则经过变换可以得到无数个解

下面是向量组的独立与依赖的定义：

若向量组中向量的个数不止一个，那么依赖的定义可以做如下转换：

这种变换我认为更贴近“依赖”这个词的本意

由于零向量是任意向量的线性组合（线性系数均为0），因此，含有零向量的向量组一定是dependent

如果向量组中只有一个向量，那这时候怎么判断呢？

其实我感觉这种时候判断没有什么具体的意义，因为我们本来是想用这个是否独立来判断解的个数的，试想一下如果只有一个向量是什么情况
通过定义不难发现，若该向量为非零向量，则它独立，若为零向量，则不独立

关于为什么向量组是不独立的，则有一个解就有无穷多个解，下面有一个较为直观的解释：

下面开始证明，主要证明以下两个部分：

先给个引子：关于其次方程组，我们都知道它一定有一个零解
更关键的是：

根据dependent的定义，我们可以知道若系数矩阵A的列向量组是dependent，则AX=0一定有非零解，而又因为这是一个其次方程组，则又有一个零解，根据上面已经证明的：若有两个解，则有无数解可知，AX=0有无数个解
而如果系数矩阵A的列向量组是independent，显然只有零解。

下面是详细证明，值得反复查看

下面是rank与nullity的定义，其中用到了上面关于向量组只有一个向量的情况的讨论

若一个m×n的矩阵的rank=n，或nullity=0，那也就是说它的所有列是独立的

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