正态分布

正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）、正规分布，是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。

若随机变量X服从一个位置参数为 μ \mu μ 、尺度参数为 σ \sigma σ的正态分布，记为：

X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)

则其概率密度函数为

f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ⁣ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\!} f(x)=σ2π 1e−2σ2(x−μ)2

正态分布的数学期望值或期望值 μ \mu μ等于位置参数，决定了分布的位置；其方差 σ 2 \sigma^{2} σ2的开平方或标准差 σ \sigma σ等于尺度参数，决定了分布的幅度。

正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我们通常所说的标准正态分布是位置参数 μ = 0 \mu =0 μ=0尺度参数 σ 2 = 1 \sigma^2 = 1 σ2=1的正态分布

泊松分布

泊松分布（Poisson distribution）又称Poisson分配、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分配、帕松小数法则（Poisson law of small numbers），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等。

泊松分布的概率质量函数为：

P ( X = k ) = e − λ λ k k ! P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} P(X=k)=k!e−λλk

泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。

若 X X X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，记为 X ∼ π ( λ ) X \sim \pi(\lambda) X∼π(λ)，或记为 X ∼ P o i s ( λ ) {\displaystyle X\sim Pois(\lambda )} X∼Pois(λ).

正态分布与泊松分布关系

泊松分布概率质量函数的参数只有一个，就是1/μ或λ（随机事件发生一次的平均等待时间或单位时间内随机事件发生的次数）

随着单位时间内随机事件发生次数的增加，泊松分布会逐渐近似于均值和方差都等于λ的正态分布。因此，只要单位时间内，随机时间的平均发生次数λ足够大，就可以将泊松分布看作是均值和方差都等于λ的正态分布

单位时间内随机事件发生的次数λ值达到多大时，正态分布才能替代泊松分布呢？这个问题与正态分布近似二项分布的问题一样，不存在绝对的标准，但是有普遍能够被大家接受的标准，在该标准下，泊松分布使用正态近似是合适的。在许多统计学教材中可以看到这样一个规则，当λ大于或等于5时，可以使用泊松分布的正态近似，这个规则更严格的要求是λ必须大于或等于10。

比较泊松分布和正态分布的概率计算结果，当λ=8时，正态分布近似泊松分布的概率计算值29.68%与泊松分布的概率计算值31.33%依然存在差异，但是结果已经非常接近，估计误差仅为0.2%，在可以接受的范围内。

单变量分布关系

[1]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E4%BD%88
[2]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
[3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/49186560
泊松分布和正态分布有什么内在联系？ - 山醒的回答 - 知乎
[4]https://www.zhihu.com/question/21756860/answer/19343004
[5]http://www.math.wm.edu/~leemis/2008amstat.pdf

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