图像处理的数学模型与高性能算法—

一、图像复原

正问题（Forward Problem)：从清晰图片到模糊图片

$Ax+e=b,$

模糊算子（矩阵）X 清晰图片 + 噪声 = 模糊图片

矩阵A是模糊算子，表示模糊化这个物理过程，是已知的；
x是清晰（复原）图像，是未知的；
e是观测过程中的噪声，是未知的;
b是观测到的模糊图像，是已知的。

反问题（Inverse Problem）：从模糊图片到清晰图片

任务：观测到的图像是模糊，带有噪声的，如何尽可能复原出清晰的图像？

数学模型：不适定反问题

$Ax=b,b=b^{*}+e$

矩阵A是模糊算子，x是未知清晰复原图像，b是观测到的模糊图像

不适定反问题（III-Posed Inverse Problem）

任务：观测到的图像是模糊，带有噪声的，如何尽可能复原出清晰的图像？

数学模型：不适定反问题

$Ax=b \overset{\tau }{\rightarrow} x=A^{-1}b(=A^{*}b)$

直接求解：高斯消去法，矩阵分解法，迭代法等。

不适定性：（Hardmard）

解不一定存在 $\rightarrow \rightarrow$ 最小二乘问题（数据拟合）
解不一定唯一 $\rightarrow \rightarrow$ 最小范数（能量）解
解对于观测数据敏感 $\rightarrow \rightarrow$ 正则化技巧

最小二乘问题：算子A奇异，条件数巨大，系统不相容等困难

$min\left \| Ax-b \right \|_{2}$

模糊类型（矩阵A的类型）：

Motion blur: 运动模糊
Out-of-focus: 无法聚焦模糊

噪声类型（向量e的类型）：

Gaussian noise: 正态（高斯）噪声，最为常用
Poisson noise: 泊松噪声
Salt and pepper noise: 盐胡椒噪声

图像复原反问题：求解如下模型的清晰图片x

$Ax+e=\hat{b}+e=b$

其中模糊矩阵A和模糊图片b已知，噪声e未知，但噪声的值很小。既然噪声e很小（ $\left \| e \right \|_{2}=10^{-2}\left \| b \right \|_{2}$ ），能否通过求解

$Ax\approx b=\hat{b}+e$ ,

得到的数值解x，作为清晰图片的近似？即计算

$x=A^{-1}\hat{b}+A^{-1}e,$

直除得到的结果模糊，不行

解决方法一：去掉模糊矩阵A中的小奇异值

解决方法一的难点：究竟应该选择保留多少个大奇异值？即k的值如何选取。
如果k太小，复原的图像不够清晰，细节没有体现出来。即出现欠拟合情形（under-fitting）。
如果k太大，复原的图像被噪声污染，变得不清晰。即出现过拟合情形（over-fitting）。
通过选择不同k，观察复原的图像清晰度，来粗略判断合适的k的选取。

解决方法二：Tikhonov正则化

Tikhonov正则化被广泛的应用于统计学，机器学习和深度学习，信号处理等领域。

对复原的解x有先验（prior）的物理假设，光滑性，稀疏性等等。不直接求解Ax=b，而是求解

$min\left \| Ax-b \right \|_{2}^{2}+u^{2}\left \| x \right \|_{2}^{2}$

其中：

$\left \| Ax-b \right \|_{_{2}^{}}^{2}$ 称为拟合项，衡量数据和模型的逼近程度；
$\left \| x \right \|_{2}^{2}$ 称为Tikhonov正则化项，避免过度拟合；
$u$ >0是正则化参数，平衡拟合项和正则化项。

解决方法二的难点：如何选择合适的正则化参数u?

如果u太小，复原的图像被噪声污染，变得不清晰。即出现过拟合情形（over-fitting）。极端情形u=0，则问题变回求解Ax=b。
如果u太大，复原图像不够清晰，细节没有体现出来。即出现钱拟合情形（under-fitting）。极端情形u=∞，则问题和Ax=b无关。
通过选择不同u，观察复原的图像清晰程度，来粗略判断合适的u的选取。

解决方法三：迭代法

数值迭代方法在很多科学计算领域有着广泛的应用，如机器学习，深度学习，数值代数，最优化等等。

迭代方法可以用来求解线性方程组

$Ax=b$

也可以用于求解最小二乘问题，或其他一般目标函数最优化问题

$min\left \| Ax-b \right \|_{2}$

迭代法一般形式，产生迭代序列 $\left \{ x_{k} \right \}_{k=0}^{\infty }$ ，最后收敛到解

$x_{k+1}=x_{k}+\alpha _{k}\rho _{k}$

常见的定常迭代方法：

Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代，SOR迭代等；

常见非定常迭代法

梯度下降法（gradient descent）
随机梯度下降法（stochastic gradient descent）
共轭梯度法（conjugate gradient）
Kaczmarz方法，Cimmino方法

图像复原模型与算法总结

图像去模糊（复原）在数学上是一个不适定反问题，难度在于模糊矩阵接近奇异，且观测信号被噪声污染。

直接求解线性方程组，如左除，无法得到清晰的图像。
必须采用正则化方法，如截取奇异值分解法。
Tikhonov正则化方法。
迭代方法。
不同方法有各自的优缺点。

图像去背景（Background Removal）

一段视频（一系列图像）中，如何分别提取出背景（固定）部分和非背景（移动）部分？
如何去除一张照片中无关的行人部分？

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