论人类下一代语言的可能—6.3.5形式化
现代符号逻辑被认为是以数学方法来研究逻辑而得到的，乔姆斯基的形式文法也同样。那么，这里的“数学方法”是数学专属的方法，还是应该看作一种更一般的方法？或是别的理解？应用这里所说的数学方法进行研究，其结果可形成一些抽象的、形式化的符号系统。在本节里我们先来探讨符号结果的形式化问题。
形式化指符号系统所用的基础符号往往就是一个字母，或特别构造的单独符号，或者这些符号很简单的组合；所构成的符号系统可以脱离其语义，只从符号的形式来理解与操作。形式化首先是在现代逻辑、数学、形式文法等符号系统实现，然后这一特征随着它们的应用扩散开来。形式化有时看作公理化的进阶，这种说法源自几何学。公理系统最早在几何学出现，在希尔伯特的推动下，几何公理系统首先尝试实现形式化（参阅“5.3公理系统”一节）。然而，我们在使用阿拉伯数字的算术几百年后，才有皮亚诺的算术公理；从修辞代数到符号代数的过程也与公理化无关；微积分的符号选择同样如此。形式化应该另有原因。
形式化的符号系统经常被类比于一种棋牌游戏，比如中国象棋。在中国象棋里，“象”是叫“象”，还是叫“狗”，或叫“泥土”，并没有什么实质影响；“象”的棋子是塑料的、陶瓷的、还是别的什么材料也没有什么影响；你会对“象”这一棋子产生什么联想，也没有影响。只要这类棋子能与其他的棋子区别开来，大小合适，开始时位于自己的固定位置，操作时只能走“田”字，不可跳过界河就可以。掌握象棋里所有棋子的行走规则，以及杀棋、输赢等规则，你就可以去下棋了，至于下棋的水平是另外一回事。其实传统计算工具的使用就有这种性质，只是现今的人类对传统计算工具操作已没有什么体验。比如使用算盘时，我们对其上木珠的操作只需条件反射地按口诀操作就可以，并不需要考虑到操作背后有什么实际意义。这种操作的机械性同样转移到了符号系统的算术上。这将带来算术的形式化。
为了更好地说明这里的观点。我们再回到算术一节里的内容（参阅“4.1算术”一节）。理解上，算术的基础是后续概念，后继是自然数间一种关系，这种关系规定了自然数的本质。后继概念加上空间的技巧形成了位置记数法。有了位置记数法，我们就可以表示任意数量（自然数范围），而不必去为每一数量单独构造一个符号，这也是不可能的。基于后继概念，也可以以递归的方式定义加法计算。位置记数法与加法是同一原理的不同表现方式。真实的过程并不是我们先理解到后继概念，然后发展出算术。实际的起源是实物计数计算实践。在这种实践中，自然数间的关系体现在对实物（象征物）的操作方式上。实物计数计算实践的有效性，潜移默化了我们的思考，我们将实物计数计算的模式向符号迁移，形成了位置记数法、自然数的加法，以至最初实用的算术。在实用的算术出现很久以后，我们才整理出后继概念，基于后继概念建立算术的公理系统。
在算术里，实物计数计算的操作模式发展为符号的规则性操作，如加法计算只需匹配套用相关的加法表，运算律，进位规则就可以进行。一般地，数学里建立起某类型的计算，主要是建立这些计算的规则，这些规则是一些等价关系的表达式，表示的是纯粹符号或表达式间的关系，无需去理解其中符号、表达式的意义，只从媒介表现出的形式就可以进行匹配与操作，即进行等价替换。此时，计算对象只是按规则操作的符号，甚至它们就是在这种操作中构造出。计算操作的机械与形式化的性质是最终符号系统可形式化的根本。符号基于操作规则而不是实际意义存在，追求简洁的表示也成为必然。不是所有的符号计算都像算术的计算一样，有实物操作的起源。说现代逻辑，形式文法等通过模仿数学来发展，主要指这些分支里也能成功建立起规则性的符号计算操作。建立基于计算的符号系统，刻画出最初所面向领域的对象及其关系。然后，更复杂的计算对象与计算类型可由简单的计算对象与计算类型构造，这是数学的一种发展方式。这种方式下所构建的系统自然地带有抽象与形式的特征。
公理系统是具体领域与逻辑结合的模式，形式化的公理系统的形成仍是基于计算—逻辑的演算。上一节我们讲解了逻辑演算与数学计算的不同，逻辑的演算更具一般性，这使公理的形式化有更好的适应性。在解析几何出现前，传统的几何没有像数学的其他分支那样，形成抽象的计算对象与计算类型，其中的对象符号仍是自然语言词汇与专用符号的混合，其系统的构建是直接应用逻辑，它的形式化也只能是在公理化基础上去追求。本书所讲到的数学主要是可构造数学这一部分，数学、科学中还存在那些不能直接构造的部分，如那些只能用反证法证明的命题，包括这样内容的学科部分，也需要直接应用逻辑。希尔伯特倡导各个数学分支都建立形式化公理系统，以此保障数学内容的可靠，这种严谨性的追求是推动数学健康发展所需的另一个方面。公理系统的形式化，将演绎的过程追溯至逻辑，这种一般化处理，有可能淡化原生系统对源问题域的对象与关系的刻画，从而使系统变得更加难以理解。
形式化脱离了自然语言的轨道，多数人并不能适应。符号系统可形式化则是一个重要的事实。首先形式化显示了领域符号使用上的闭合性（参阅“2.3符号视角下的科学—领域语言”一节）。其次，形式化、机械性的符号系统类似于一种物理系统，只是这里的物理存在是纸面上的符号，所涉及的运动是基于规则在纸面对书写符号的操作。在数学与计算工具的关系中，正是符号系统形式化、机械化的性质，让我们可以去发明各种计算工具来模拟纸面符号计算的操作。
本节及前面四节所讲述的内容，我们后面还会讲到。
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