游戏场景offset坐标系关联正六边形cube坐标系

MMO中，游戏场景即游戏地图，服务器要做的就是将地图上所有的玩家信息同步。为了减轻服务器压力，根据游戏本身的设定，如能见度，服务器只需根据不同的玩家返回相应的数据即可。

假设将地图切成了N个矩形块，在 (0, 0) 这个坐标上的玩家，我们只需要给玩家返回 (-1, 1) (0, 1) (1, 1) (-1, 0) (0, 0) (1, 0) (-1, -1) (0, -1) (1, -1) 矩形块上的数据即可。

但是，使用矩形切片，每次需要计算的场景为 9。如果使用正六边形切片，每次需要计算的场景则为 7。使用正六边形，并不会减少总的数据量，但能减少周围场景服务器的访问次数。而且，相比矩形，正六边形的计算更为复杂。

六边形cube坐标系：

六边形区域计算：

将cube坐标系转换成offset坐标系（此处假定step=0.5）：

初始化将地图的某个点的相对 cube 坐标传入，并设置步长，计算出 radius 的值。

xy::utils::hexagon::Hexagon::Hexagon(double x, double y, double z, long double step) : cube{x, y, z}, step(step) {this->offset = {static_cast<double>((y - x) * step), static_cast<double>(-std::sqrt(3) * z * step)};this->radius = (2.0 * std::sqrt(3) / 3.0) * step;
}

根据玩家的绝对坐标，判断玩家是否跨越了此区域。

double xy::utils::hexagon::Hexagon::compute_distance(double x, double y) {return std::sqrt(std::pow(x - this->offset.x, 2) + std::pow(y - this->offset.y, 2));
}bool xy::utils::hexagon::Hexagon::has_in_radius(double x, double y) {return this->compute_distance(x, y) <= this->radius ? true : false;
}

如果玩家跨越了此区域，获取玩家当前所在的区域，然后将玩家的数据复制到玩家所在区域去。

这里需要用到 offset 转 cube 的公式。

xy::utils::hexagon::Hexagon::Cube xy::utils::hexagon::Hexagon::offset2cube(double x, double y) {x -= this->offset.x;y -= this->offset.y;return this->offset2cube_absolutely(x, y);
}xy::utils::hexagon::Hexagon::Cube xy::utils::hexagon::Hexagon::offset2cube_absolutely(double x, double y) {/*ax + by = mcx + dy = nx = (md - bn) / (ad - bc)y = (mc - an) / (bc - ad)*/double a = 1.0, b = -1.0, c = 1.0, d = 1.0;double z = -std::sqrt(3) / 3.0 * y / this->step;double m = -x / this->step, n = -z;x = (d * m - b * n) / (a * d - b * c);y = (c * m - a * n) / (b * c - a * d);Cube cube {x, y, z};return cube;
}

如果用 python 的 numpy 结合线性代数解方程组就简单了，可惜 python 运算效率实在太慢，用来做服务器将大大降低承载量。

import numpy
import mathdef offset2cube_absolutely(offset_x, offset_y, step=0.5):a = numpy.asarray([[1, -1],[1, 1]])z = -(math.sqrt(3) / 3) * offset_y / stepb = numpy.asarray([-offset_x / step, -z])x, y = numpy.linalg.solve(a, b)return x, y, z

完整代码：

hexagon.h

#ifndef XY_HEXAGON
#define XY_HEXAGONnamespace xy {namespace utils {namespace hexagon {class Hexagon {public:struct Cube {double x, y, z;};public:struct Offset {double x, y;};public:Hexagon(double, double, double, long double=0.5);~Hexagon();private:Cube cube;Offset offset;long double step;long double radius;public:Cube& get_cube();Offset& get_offset();long double get_step() const;long double get_radius() const;public:double compute_distance(Offset&);double compute_distance(double, double);bool has_in_radius(Offset&);bool has_in_radius(double, double);Cube offset2cube(Offset&);Cube offset2cube(double, double);Cube offset2cube_absolutely(Offset&);Cube offset2cube_absolutely(double, double);};}}
}#endif

hexagon.cpp

#include <cmath>
#include "hexagon.h"xy::utils::hexagon::Hexagon::Hexagon(double x, double y, double z, long double step) : cube{x, y, z}, step(step) {this->offset = {static_cast<double>((y - x) * step), static_cast<double>(-std::sqrt(3) * z * step)};this->radius = (2.0 * std::sqrt(3) / 3.0) * step;
}xy::utils::hexagon::Hexagon::~Hexagon() {}xy::utils::hexagon::Hexagon::Cube& xy::utils::hexagon::Hexagon::get_cube() {return this->cube;
}xy::utils::hexagon::Hexagon::Offset& xy::utils::hexagon::Hexagon::get_offset() {return this->offset;
}long double xy::utils::hexagon::Hexagon::get_step() const {return this->step;
}long double xy::utils::hexagon::Hexagon::get_radius() const {return this->radius;
}double xy::utils::hexagon::Hexagon::compute_distance(Offset& offset) {return this->compute_distance(offset.x, offset.y);
}double xy::utils::hexagon::Hexagon::compute_distance(double x, double y) {return std::sqrt(std::pow(x - this->offset.x, 2) + std::pow(y - this->offset.y, 2));
}bool xy::utils::hexagon::Hexagon::has_in_radius(Offset& offset) {return this->has_in_radius(offset.x, offset.y);
}bool xy::utils::hexagon::Hexagon::has_in_radius(double x, double y) {return this->compute_distance(x, y) <= this->radius ? true : false;
}xy::utils::hexagon::Hexagon::Cube xy::utils::hexagon::Hexagon::offset2cube(Offset& offset) {return this->offset2cube(offset.x, offset.y);
}xy::utils::hexagon::Hexagon::Cube xy::utils::hexagon::Hexagon::offset2cube(double x, double y) {x -= this->offset.x;y -= this->offset.y;return this->offset2cube_absolutely(x, y);
}xy::utils::hexagon::Hexagon::Cube xy::utils::hexagon::Hexagon::offset2cube_absolutely(Offset& offset) {return this->offset2cube_absolutely(offset.x, offset.y);
}xy::utils::hexagon::Hexagon::Cube xy::utils::hexagon::Hexagon::offset2cube_absolutely(double x, double y) {/*ax + by = mcx + dy = nx = (md - bn) / (ad - bc)y = (mc - an) / (bc - ad)*/double a = 1.0, b = -1.0, c = 1.0, d = 1.0;double z = -std::sqrt(3) / 3.0 * y / this->step;double m = -x / this->step, n = -z;x = (d * m - b * n) / (a * d - b * c);y = (c * m - a * n) / (b * c - a * d);Cube cube {x, y, z};return cube;
}

main.cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
#include "hexagon.h"using namespace std;
using namespace xy::utils::hexagon;void relatively_demo() {Hexagon* hexagon_12_1 = new Hexagon(-1, 2, -1);Hexagon* hexagon_20_2 = new Hexagon(2, 0, -2);const Hexagon::Cube cube_tmp_0 = hexagon_12_1->offset2cube(hexagon_20_2->get_offset());cout << "(2, 0, -2)相对(-1, 2, -1)，其偏移量为： x=" << cube_tmp_0.x << " y=" << cube_tmp_0.y << " z=" << cube_tmp_0.z << endl;const Hexagon::Cube cube_tmp_1 = hexagon_20_2->offset2cube(hexagon_12_1->get_offset());cout << "(-1, 2, -1)相对(2, 0, -2)，其偏移量为： x=" << cube_tmp_1.x << " y=" << cube_tmp_1.y << " z=" << cube_tmp_1.z << endl;if (hexagon_12_1) {delete hexagon_12_1;}if (hexagon_20_2) {delete hexagon_20_2;}
}void absolutely_demo() {Hexagon* hexagon = new Hexagon(2, -1, -1);const Hexagon::Cube& cube_tmp_0 = hexagon->offset2cube_absolutely(-1.0 / 2.0, 3.0 * sqrt(3) / 2.0);cout << "(-1/2, 3*sqrt(3)/2): " << "x=" << cube_tmp_0.x << " y=" << round(cube_tmp_0.y) << " z=" << cube_tmp_0.z << endl;const Hexagon::Cube& cube_tmp_1 = hexagon->offset2cube_absolutely(3.0 / 2.0, sqrt(3) / 2.0);cout << "(3/2, sqrt(3)/2): " << "x=" << cube_tmp_1.x << " y=" << round(cube_tmp_1.y) << " z=" << cube_tmp_1.z << endl;Hexagon::Offset offset_tmp{ -2, -sqrt(3) };const Hexagon::Cube& cube_tmp_2 = hexagon->offset2cube_absolutely(offset_tmp);cout << "(-2, -sqrt(3): " << "x=" << cube_tmp_2.x << " y=" << round(cube_tmp_2.y) << " z=" << cube_tmp_2.z << endl;if (hexagon) {delete hexagon;}
}int main() {relatively_demo();cout << endl;absolutely_demo();return 0;
}

运行结果：

正六边形坐标系参考：正六边形网格化(Hexagonal Grids)原理与实现

二元一次方程组解法参考：怎么用C编程语言求解二元一次方程组的解

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