简介

首先需要复习一下图论的一系列知识，理解有向图的强连通分量的定义，求解有向图的强连通分量算法有很多，例如Kosaraju，Gabow和Tarjan算法，其中Gabow和Tarjan算法时间复杂度要优于Kosaraju。在这里我们使用Tarjan求解SCC。
在此之前你可以对SCC有个直观的认识，放图：

然后看一篇浅显的说明性的文字，了解这个算法的思想：
http://www.voidcn.com/blog/wr132/article/p-4891712.html
然后我们需要贴一篇经典的文章讲解，传送门如下：
https://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/

理解：

核心思想：一个强连通分量中任意两个节点一定是互相可达的，那么这个强连通分量的从i到j的路径构成一个环（when i=j），因此我们的核心思想就是寻找环。
1. DFN[i]数组存储第i个节点的访问时间time，LOW[i]数组存储当前第i个节点能够直接或者间接访问到的最早的节点的时序time。
2. 本算法基于DFS，当遍历到第i个节点的时候，递归结束的条件就是考虑第i个节点的DFN值和LOW是否相等，通俗点说就是这个点能找到的最小时间的点是自身，即从i出发可以回到i，那么i后面遍历到的点包括i在内构成了一个有向图的强连通分量。
3. 其次我们考虑递归遍历的时候，第i个节点的下一个节点i+1如果遍历完毕，我们考虑i+1的LOW值，取i和i+1的LOW值中小的；如果i+1在栈中，说明之前遍历过，如果DFN值小，说明之前遍历过，从当前i到i+1很可能构成环，取之。
下面用一道CCF的题目应用一下SCC算法。

问题描述
　　某国有n个城市，为了使得城市间的交通更便利，该国国王打算在城市之间修一些高速公路，由于经费限制，国王打算第一阶段先在部分城市之间修一些单向的高速公路。
　　现在，大臣们帮国王拟了一个修高速公路的计划。看了计划后，国王发现，有些城市之间可以通过高速公路直接（不经过其他城市）或间接（经过一个或多个其他城市）到达，而有的却不能。如果城市A可以通过高速公路到达城市B，而且城市B也可以通过高速公路到达城市A，则这两个城市被称为便利城市对。
　　国王想知道，在大臣们给他的计划中，有多少个便利城市对。
输入格式
　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示城市和单向高速公路的数量。
　　接下来m行，每行两个整数a, b，表示城市a有一条单向的高速公路连向城市b。
输出格式
　　输出一行，包含一个整数，表示便利城市对的数量。
样例输入
5 5
1 2
2 3
3 4
4 2
3 5
样例输出
3

题解

本题思路在于求出SCC，每个SCC内部的任意两个节点都是相互可达的，我们使用C(2n)C\binom{2}{n}就可以求出题目中要求的便利对。这里不要真的使用组合数公式，不要编factorial，稍微化简下就可以得到

C(2n)=n(n−1)2

C\binom{2}{n}=\frac{n(n-1)}{2}
另外使用类似于邻接表的结构存储Graph，例如vector数组，拒绝邻接矩阵，爆内存分分钟的事情。
注意考虑多连通分量的情况，另外，记得给Graph结构清零处理，很多网上的代码都没有清零处理，AC了CCF的评测是因为数据是递增的，如果数据减少的话，一定是WA。
下面贴code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <vector>
#include <algorithm>
//#define LOCAL
using namespace std;
//邻接表版本的代码 vector实现
const int N=10005;
int n;          //图结点个数
int DFN[N];
int LOW[N];
int time;       //访问时序
stack<int> s;  //DFS栈
vector<int> G[N];
int vis[N];    //访问数组
int instack[N]; //是否在栈里
int result;void tarjan(int u){DFN[u]=LOW[u]=++time; //time从1开始s.push(u);instack[u]=1;vis[u]=1;for(int j=0;j<G[u].size();j++){int v=G[u][j];if(vis[v]==0){tarjan(v);LOW[u]=min(LOW[u],LOW[v]);}else if(instack[v]){LOW[u]=min(LOW[u],DFN[v]);}}int m;int cnt=0; //连通分量内部的节点数if(DFN[u]==LOW[u]){do{m=s.top();instack[m]=0;s.pop();cnt++;}while(m!=u);if(cnt>1){result+=cnt*(cnt-1)/2; //考虑多个连通分量的情况}}
}
int main(){#ifdef LOCALfreopen("input.txt","r",stdin);#endif // LOCALint m; //边数while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){while(s.size()!=0){s.pop();}result=0; //最终结果time=0;memset(vis,0,sizeof(vis));//清空vector比清空struct需要时间少很多memset(G,0,sizeof(G));     memset(DFN,0,sizeof(DFN));memset(LOW,0,sizeof(LOW));memset(instack,0,sizeof(instack));for(int i=0;i<m;i++){int a,b;scanf("%d %d",&a,&b);G[a].push_back(b);}for(int i=1;i<=n;i++){if(vis[i]==0){vis[i]=1;tarjan(i);}}printf("%d\n",result);}return 0;
}

P.S.对于Tarjan算法的理解仍然不够深入，回去补一波算法导论，欢迎各位提出更好的理解建议。

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