矩阵的基础知识与公式（转置，逆，迹，行列式）

2024-06-17 03:43:07

矩阵的基础知识与公式（转置，逆，迹，行列式）

References: MatrixCookBook(Version 2012) Chapter1

Chapter1: Basics

1 Basics

注： A H {A^H} AH是A的Transposed and complex conjugated matrix (Hermitian)，即转置复共轭矩阵。

1.1 矩阵的迹(`Trace`)

式子(11)表明矩阵的迹是主对角线元素的和。
式子(12)表明矩阵的迹是矩阵的特征值的和。
式子(13)表明矩阵的迹等于其转置矩阵的迹。
式子(14)表明AB的迹等于BA的迹。
式子(15)表明A+B的迹等于A的迹加B的迹。
式子(16)表明ABC的迹等于BCA的迹等于CAB的迹。
式子(17)表明一个nx1的向量a，a的转置乘以a所得的常数等于a乘以a的转置所得矩阵的迹。

1.2 行列式(`Determinant`)

前提：此处的A是nxn矩阵。
式子(18)表明矩阵的行列式等于特征值的连乘积。
式子(19)表明cA的行列式等于A的行列式的 c n {c^n} cn倍。
式子(20)表明矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
式子(21)表明矩阵AB的行列式等于矩阵A的行列式乘以矩阵B的行列式。
式子(22)表明矩阵 A − 1 {A^{-1}} A−1的行列式等于矩阵A的倒数。
式子(23)表明矩阵 A n {A^n} An的行列式等于矩阵A的行列式的n次幂。
式子(24)表明如果u和v是nx1向量，那么 I + u v T {I+uv^T} I+uvT的行列式等于 1 + u T v {1+u^Tv} 1+uTv的值。
式子(25)表明如果A是2x2矩阵，I+A的行列式等于 1 + d e t ( A ) + T r ( A ) {1+det(A)+Tr(A)} 1+det(A)+Tr(A),即1+A的行列式+A的迹。
式子(26)表明如果A是3x3矩阵，I+A的行列式等于 1 + d e t ( A ) + T r ( A ) + 1 2 T r ( A ) 2 − 1 2 T r ( A 2 ) {1+det(A)+Tr(A)+\frac{1}{2}Tr(A)^2-\frac{1}{2}Tr(A^2)} 1+det(A)+Tr(A)+21Tr(A)2−21Tr(A2)。
式子(27)不表。
式子(28)表示对于微小扰动 ε \varepsilon ε，可以将 ε A \varepsilon A εA近似作为2x2形式处理

1.3 特例：2x2矩阵

2x2矩阵有着以上的性质与结论。

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