符号“∑”和“Π”的用法

在数学中，符号“∑”和“Π”分别用来表示求和与求积。

首先是函数的累积求和，n取[m, k]中的连续整数值。

∑n=mkf(n)=f(n)+f(n+1)+...+f(k) ∑ n = m k f ( n ) = f ( n ) + f ( n + 1 ) + . . . + f ( k )

\sum_{n=m}^{k} f(n)=f(n)+f(n+1)+...+f(k)

这个变量n可以换成其他任意字母，比如x。我们把下面的“n=m”和上面的“k”称作这个和式的下标。在上下文明确的情况下，下标可以省略。

求和符号同样可以表示无穷级数。

∑i=1n=x1+x2+...+xn ∑ i = 1 n = x 1 + x 2 + . . . + x n

\sum_{i=1}^{n}=x_1+x_2+...+x_n

∑n=1∞1n2=112+122+132+...+1n2=π26 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + . . . + 1 n 2 = π 2 6

\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...+\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

求和与求积的用法是完全相同的。当下标不是连续整数时，下标也可以有不同的表达方式。

∏p∈Ap2p2−1=π26 ∏ p ∈ A p 2 p 2 − 1 = π 2 6

\prod_{p\in A} \frac{p^2}{p^2-1}=\frac{\pi^2}{6} （A表示所有正素数构成的集合）

∑d|10,d∈N=1+2+5+10=18 ∑ d | 10 , d ∈ N = 1 + 2 + 5 + 10 = 18

\sum_{d|10,d\in N}=1+2+5+10=18 （“a|b”表示b能整除a，该和式表示所有10的正因子的和）

最后附上一些常见的求和公式。

∑i=1ni=n(n+1)2 ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2

∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6 ∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6

∑i=1ni3=(n(n+1)2)2 ∑ i = 1 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2

\sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}2)^2

∑i=1n(2i−1)=n2 ∑ i = 1 n ( 2 i − 1 ) = n 2

\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2

∑i=0nxi=xn+1−1x−1 ∑ i = 0 n x i = x n + 1 − 1 x − 1

\sum_{i=0}^{n}x^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

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