有向图 G=(V, E) 的拓扑排序

有向图 G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E) 的拓扑排序

拓扑排序概念

拓扑排序是针对有向图而言的，无向图中不存在拓扑排序的概念。所谓拓扑排序，即为有向图中全部顶点的一种线性排序。这个线性排序结果需要满足一定的条件，即对于有向图中的任意两个顶点uuu和vvv，若图中存在有向边u→vu \rightarrow vu→v，则在拓扑排序结果中顶点uuu一定位于vvv的前面。

那么，由拓扑排序的概念可以推出，只有有向图中入度为0的顶点才能成为拓扑排序的第一个顶点。这个原则也是解决有向图拓扑排序的一个指导性原则。

AOVAOVAOV网络

由于存在一些概念上的联系，这里简单插入介绍一下AOVAOVAOV网络的概念。
Activity On Vertex Network，顶点表示活动，边表示活动间的先后关系的网络图。拓扑排序是对AOVAOVAOV网络的一种简化或者调度活动的执行顺序的过程。

由于网络中，不同的活动之间可能存在相互依赖，因此拓扑排序最终给出了一种合理地调度活动执行的先后顺序。如果所有活动之间存在着一种或多种合理的顺序，能够顺利完成全部活动，则表明该AOVAOVAOV网络为有向无回路图或有向无环图。若某个活动A依赖活动B，而活动B又依赖活动A，则表明AOVAOVAOV网络存在回路或向环。因此无法合理的完成全部活动。

拓扑排序方法

那么，如何确定一个有向图是否具有拓扑排序，也即是确定一个有向图是否存在回路或环呢？这里给出执行拓扑排序的方法：
不断重复地寻找入度为0的顶点，执行如下操作：首先将该顶点作为拓扑排序的输出结果，然后将该顶点及顶点关联的出边从图中删去。循环结束条件为：所有的顶点都已搜索完毕，或着顶点未搜索完，但是顶点的入度不为0，无法删除。

解释一下

入度(inDegree)：顶点的入度表示有向图中以该顶点为终点的边的个数；出度(outDegree)：顶点的出度表示有向图中以该顶点为起点的边的个数。因此，所谓的顶点的出边是指以顶点为起点的边。

由拓扑排序推出的原则可知，拓扑排序的第一个顶点即为入度为0的点，那么在有向图中删除该顶点后的构成的新图，重复地进行拓扑排序即可得到最终的拓扑排序结果。

具体到解决问题的方法上，我们直到关于图的搜索一般有两种方式：广度优先搜索和深度优先搜索。

广度优先搜索步骤

定义inDegree用于存储搜索过程中每一个顶点的入度。
遍历一边图的邻接表，将每一个顶点的邻接表转化为对应顶点的入度。
具体地，对于一条有向边u→vu \rightarrow vu→v，则inDegree(v) += 1。
选择入度为0的顶点开始搜索，将顶点作为拓扑排序输出。
对于已经完成搜索的顶点，更新其邻接表中顶点的入度，值减一。
repeat 3，4，until 循环结束条件。
循环结束条件：a、搜索完有向图中全部顶点，b、无法完成全部顶点的搜索。
满足条件a时，表明有向图存在拓扑排序结果；满足条件b时，则表明该有向图存在回路或环，不存在拓扑排序。

BFS Pseudocode

edgesedgesedges 邻接表集合
inDegreesinDegreesinDegrees 顶点的入度集合
bfsQbfsQbfsQ 搜索队列，存放入度为0的顶点
topoListtopoListtopoList 存储拓扑排序结果

BFS(G(V, E))//初始化for u in G(V)for v in edges(u)do inDegrees(v) += 1//放入入度为0的顶点for degree in inDegreesdo if degree == 0 thenbfsQ.push(i);//循环搜索while bfsQ not empty do//搜索到入度为0的顶点vertex = bfsQ.pop//插入到拓扑排序结果中topoList.add(vertex)//搜索顶点vertex的邻接表for v in edges(vertex)//更新顶点v的入度值inDegrees(v) -= 1do if inDegrees(v) == 0//顶点入度减为0时添加待搜索队列中then bfsQ.push(v)//搜索结束后，判断结束条件//当拓扑排序结果为全部的顶点时，表明满足循环结束条件a，否则满足循环结束条件b。return topoList.size() == |V| ? topoList: 0;

深度优先搜索步骤

DFS在搜索过程中顶点具有三种状态：未搜索(0)，搜索中(1)，已搜索(2)。
三种状态的含义如下：
未搜索(0)：表示搜索过程中该顶点尚未被发现，属于一个新顶点，
搜索中(1)：表示该顶点已被发现, 但其邻接顶点还尚未被搜索完，
已搜索(2)：表示该顶点及其邻接顶点都完成搜索。

DFS Pseudocode

edgesedgesedges 邻接表集合
visitedvisitedvisited 用于保存顶点的搜索状态
SSS 栈，保存拓扑排序结果

algorithm for DFS(G(V,E))//初始化visitedfor u in V[G]do visited(u) = 0for u in V[G]do if visited(u) == 0 then//深度优先搜索全部的顶点DFS(u)拓扑排序结果为S出栈的顺序，原因是先完成搜索的顶点存放到栈的底部DFS(u)//顶点的状态设为搜索中do visited(u) = 1for v in edges(u)//深度优先的方式进行邻接表的搜索do if visited(v) == 0 then//遇到未搜索状态的顶点，继续进行深度优先搜索DFS(u)do if visited(v) == 1 then//遇到搜索中状态的顶点，说明此前该顶点已经在这条深度优先搜索路径中出现两次//这里表明有向图中存在回路或环do if visited(v) == 2 then//pass 不重要的trivial//到这里说明顶点u已经完成深度优先搜索，更新其搜索状态为已搜索visited(u) == 2//入栈S.push(u)

典型的应用

力扣题解-207. 课程表
力扣题解-210. 课程表 II