食饵——捕食者模型

摘要

自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲

)，二者共处组成食饵——捕食者系统为食饵(Prey)，种群乙为捕食者(Predator

(简称P-P系统)。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。

关键词

食饵——捕食者，模型，生态学，Logistic规律。

问题重述

讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

模型建立

种群甲(食饵)靠丰富的自然资源生长，而种群乙(捕食者)靠捕食种群甲为生，食饵(甲)和捕食者(乙)在t时刻的数量分别记为x(t)，y(t)，r是甲的固有增长率，种群甲和乙的最大容量分别为N、M。数量的演变均遵从Logistic规律。于是对种群甲有

(t)=rx(1-x

x

) N

其中因子(1-用，

x

)反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作N

x

可解释为相对于N而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量(设食物N总量为1)。

当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲

x

的增长产生的影响，可以合理的在因子(1-)中再减去一项，该项与种群乙的

N

数量y(相对于M而言)成正比，于是得到种群甲增长的方程为

xy

-σ1) (1) NM

这里的意义是：单位数量乙(相对于M而言)消耗的供养甲的食物量为单位数

(t)=rx(1-x

量甲(相对N)消耗的供养甲的食物量的σ1倍。

类似的，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙没有甲的存在会死亡，设其死亡率为d，甲为乙提供食物，甲对乙的增长起到了促进作用，乙的增长又会受到自身的阻滞作用，于是得到种群乙增长的方程为

xy

(t)=dy(-1+σ2-) (2) y

NM其中：σ2反映食饵对捕食者的供养能力。

稳定性分析

为了研究种群甲、乙的结局，即t→∞时，x(t)、y(t)的趋向，需对它的平衡点进行稳定性分析。

首先根据微分方程(1)、(2)解代数方程组

xy⎧

f(x,y)≡rx(1--σ)=01⎪NM (3) ⎨xy

⎪g(x,y)≡dy(-1+σ2-)=0

NM⎩

得到4个平衡点：

⎛N(1+σ1)M(σ2-1)⎫ ⎪，，P(N,0)P(0,-M)P,123 ⎪，P4(0,0)。 1+σσ1+σσ1212⎭⎝

按照判断平衡点稳定性的方法计算

⎡fx

A=⎢

⎣gx

rσ1x2xσ1y⎡⎤

r(1--)-fy⎤⎢⎥NMM=⎢⎥dσ2yσ2x2y⎥ gy⎦⎢

d(-1+-)⎥

NNM⎦⎣

p=-(fx+gy)|pi,i=1,2,3,4

将4个平衡点

q=detA|pi,i=1,2,3,4

p，q的结果及稳定条件列入下表1.

上表的稳定条件由微分方程稳定性理论分析：“若p>0，q>0，则平衡点稳定；若p

在代数方程(3)中记

xy

-σ1 NM

xy

ψ(x,y)=-1+σ2-

NM

ϕ(x,y)=1-

对于σ1，σ2的不同取值范围，直线ϕ=0和ψ=0在相平面上的相对位置不同。

σ2

σ2>1

模型计算与验证

数值解：记食饵和捕食者的初始数量分别为

x(0)=x0，y(0)=y0 (4)

为求微分方程(1)、(2)及初始条件(4)的数值解x(t)，y(t)(并作图)及相

xy⎧

f(x,y)≡rx(1--σ)=01⎪⎧f(x,y)≡x(r-nx-ay)=0NM轨线y(x)，把⎨用⎨代

xy

⎪g(x,y)≡dy(-1+σ2-)=0⎩g(x,y)≡y(-d+bx-my)=0

NM⎩

σ1=0.5，σ2=0.2，N=100，M=10，替，设r=1，d=0.5，则有r=1，d=0.5，

a=

rσ1dσ211

=0.01，m==0.1。 =0.05，b==0.001，n=NMMN

MATLAB代码为：

r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.001;n=0.01;m=0.1;

xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;

>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];

>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0)

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

σ1

解x(t)，y(t)的图形。

相轨线y(x)的图形

设r=1，d=0.5，σ1=2，σ2=0.2，N=100，M=10，则有r=1，d=0.5，

a=

rσ1dσ211

=0.01，m==0.1。 =0.2，b==0.001，n=NMMN

MATLAB代码为：

r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.001;n=0.01;m=0.1;

xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;

>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];

>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

σ1>1，σ2

解x(t)，y(t)的图形。

相轨线y(x)的图形

设r=1，d=0.5，σ1=0.5，σ2=2，N=100，M=10，则有r=1，d=0.5，

a=

rσ1dσ211

=0.01，m==0.1。 =0.05，b==0.01，n=NMMN

MATLAB代码为： function xdot=shier(t,x)

r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.01;n=0.01;m=0.1;

xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;

>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];

>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

σ11时，数值

解x(t)，y(t)的图形。

相轨线y(x)的图形

设r=1，d=0.5，σ1=2，σ2=2，N=100，M=10，则有r=1，d=0.5，

a=

rσ1dσ211

=0.01，m==0.1。 =0.2，b==0.01，n=NMMN

MATLAB代码为：

function xdot=shier(t,x)

r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1;

xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;

>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];

>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

σ1>1，σ2>1时，数值

解x(t)，y(t)的图形。

相轨线y(x)的图形

模型解释

根据模型中σ2与1的大小关系(σ2与1的大小关系定了，与σ1与1的大小关系无关，即点P1，P3的稳定性由σ2与1的大小关系决定)，说明P1，P3两稳定点在生态学上的意义。

当σ2

当σ2>1时，点P3稳定，这时食饵与捕食者的数量随时间的增加趋于各自的极限值，而趋于生态平衡，时间足够长之后，食饵与捕食者将保持自己的数量不会有大的变化。

参考文献

数学建模/姜启源，谢金星，叶俊编.—3版.—北京：高等教育出版社，2003.8(2010重印)

数学建模与实验/陈恩水，王峰编.—北京：科学出版社，2008

MATLAB数学建模与仿真/周品，赵新芬编著，—北京：国防出版社，2008.4 数学建模选讲/王树禾编著.—北京：科学出版社，2008