1. 公式

1.均值

2.方差

3.标准差\均方差

4.协方差

5.相关性

6.加权均值

7.加权方差

8.加权标准差

1. MATLAB代码

样本定义

%%
x=[1 2 3 3 2 1]'
y = [1 2 3 3 1 2]'
z= 3+2*y

1.均值

%% 均值
xmean=mean(x)
sum(x)/size(x,1)

xmean =
2
ans =
2

2.方差

%% 方差（n，可修改）
xvar=var(x,1)
sum((x-xmean).^2)/size(x,1)%定义
%% 方差（n-1，可修改）
xvar_1=var(x)
sum((x-xmean).^2)/[size(x,1)-1]%定义
%% 根据公式推导：E(X²)-E²(X)
mean(x.^2)-[mean(x)]^2

xvar =
0.6667

ans =
0.6667

xvar_1 =
0.8000

ans =
0.8000

ans =
0.6667

3.标准差\均方差

%% 标准差（n，可修改）
xstd=std(x,1)
sqrt( sum((x-xmean).^2)/size(x,1) )%定义
sqrt( var(x,1) )
%% 标准差（n-1，可修改）
xstd_1=std(x)
sqrt(sum((x-xmean).^2)/(size(x,1)-1))%定义
sqrt( var(x) )

xstd =
0.8165

ans =
0.8165

ans =
0.8165

xstd_1 =
0.8944

ans =
0.8944

ans =
0.8944

4.协方差

%% 协方差（n，可修改）
xcov = cov(x,1)%单个向量的协方差=方差
xycov = cov(x,y,1)
[(x-xmean)']*[y-mean(y)]/size(x,1)%定义
%% 协方差（n-1，可修改）
xcov_1 = cov(x)%单个向量的协方差=方差
xycov_1 = cov(x,y)
[(x-xmean)']*[y-mean(y)]/(size(x,1)-1)%定义

xcov =
0.6667

xycov =
0.6667 0.5000
0.5000 0.6667

ans =
0.5000

xcov_1 =
0.8000

xycov_1 =
0.8000 0.6000
0.6000 0.8000

ans =
0.6000

5.相关性

%% 相关系数
xycorrcoef = corrcoef(x,y)
xzcorrcoef = corrcoef(x,z)
yzcorrcoef = corrcoef(y,z)
corrcoef([x,y,z])

xycorrcoef =
1.0000 0.7500
0.7500 1.0000

xzcorrcoef =
1.0000 0.7500
0.7500 1.0000

yzcorrcoef =
1 1
1 1

ans =
1.0000 0.7500 0.7500
0.7500 1.0000 1.0000
0.7500 1.0000 1.0000

6.加权均值

%% 加权均值
miu_w=x'*y/sum(y)

miu_w =
2.2500

7.加权方差

%% 加权方差
xy_var=var(x,y)
xy_var2=[(x-miu_w).^2]'*y/sum(y)

xy_var =
0.6875

xy_var2 =
0.6875

8.加权标准差

%% 加权标准差
xy_std=std(x,y)
xy_std2=sqrt(xy_var2)

xy_std =
0.8292

xy_std2 =
0.8292

3.完整代码

%%
disp("样本")
x=[1 2 3 3 2 1]'
y = [1 2 3 3 1 2]'
z= 3+2*y%% 均值
disp("均值")
xmean=mean(x)
sum(x)/size(x,1)%% 方差（n，可修改）
disp("方差（n，可修改）")
xvar=var(x,1)
sum((x-xmean).^2)/size(x,1)%定义
%% 方差（n-1，可修改）
disp("方差（n-1，可修改）")
xvar_1=var(x)
sum((x-xmean).^2)/[size(x,1)-1]%定义
%% 根据公式推导：E(X²)-E²(X)
disp("公式推导：E(X²)-E²(X)")
mean(x.^2)-[mean(x)]^2%% 标准差（n，可修改）
disp("标准差（n，可修改）")
xstd=std(x,1)
sqrt( sum((x-xmean).^2)/size(x,1) )%定义
sqrt( var(x,1) )
%% 标准差（n-1，可修改）
disp("标准差（n-1，可修改）")
xstd_1=std(x)
sqrt(sum((x-xmean).^2)/(size(x,1)-1))%定义
sqrt( var(x) )%% 协方差（n，可修改）
disp("协方差（n，可修改）")
xcov = cov(x,1)%单个向量的协方差=方差
xycov = cov(x,y,1)
[(x-xmean)']*[y-mean(y)]/size(x,1)%定义
%% 协方差（n-1，可修改）
disp("协方差（n-1，可修改）")
xcov_1 = cov(x)%单个向量的协方差=方差
xycov_1 = cov(x,y)
[(x-xmean)']*[y-mean(y)]/(size(x,1)-1)%定义%% 相关系数
disp("相关系数")
xycorrcoef = corrcoef(x,y)
xzcorrcoef = corrcoef(x,z)
yzcorrcoef = corrcoef(y,z)
corrcoef([x,y,z])%% 加权均值
disp("加权均值")
miu_w=x'*y/sum(y)%% 加权方差
disp("加权方差")
xy_var=var(x,y)
xy_var2=[(x-miu_w).^2]'*y/sum(y)%% 加权标准差
disp("加权标准差")
xy_std=std(x,y)
xy_std2=sqrt(xy_var2)

参考

均值https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/mean.html

方差https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/var.html

标准差https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/std.html

协方差https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/cov.html

相关系数https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/corrcoef.html