背包算法（一）-01背包-史上最详细解答

1. 题目
2. 分析
- 2.1 状态表示
- 2.2 状态计算
3. 实现
4. 优化
5. 测试

1. 题目

问题描述：有n件物品和容量为m的背包，给出i件物品的重量以及价值value，还有数量number，求解让装入背包的物品重量不超过背包容量W，且价值V最大。
特点:这是最简单的背包问题，特点是每个物品只有一件供你选择放还是不放。

2. 分析

2.1 状态表示

一般用dp数组来计算动态规划问题，从以下两个方面对动态规划问题进行表示

集合
- v集合：物品价值
- w集合：物品重量
- 从前i个物品里面选取总重量<=j的所有物品的选法
属性
- max
- min
- count

本题属性是属于求最大价值，为max

2.2 状态计算

对于0和1背包的问题，我们计算的只是两个状态，即对于第i个物品选择放进去或者不放进去的问题。

选择放进去
表示在上一个物品的状态的时候，我的当前背包重量j需要减去当前这个物品的重量w[i]，并且整个背包的价值需要加上当前这个物品的价值v[i]，则状态方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]

选择不放进去
实际上如果选择不放进去的时候，表示需要减去的w[i]和需要加上的v[i]都为0选择不放进去的状态方程则为：

# dp[i][j] = dp[i-1][j-0] + 0
dp[i][j] = dp[i-1][j]

由此我们可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])

3. 实现

根据上面的状态转移方程我们可以得到01背包的二维解法：

def bag_two_2_0and1(items, weight):# 数据是从1开始的data_len = len(items)row = data_len + 1col = weight + 1# 生成二维数组# 原生的Python可以这么写：# dp = [[0] * col for _ in range(row)]# 使用numpy生成一个dp数组dp = np.array([0] * (row * col)).reshape(row, col)for i in range(1, row):if i == data_len:breakitem = items[i]v = item.get("value")w = item.get("weight")for j in range(1, col):if j >= w:no_input = dp[i-1][j]yes_input = dp[i-1][j-w] + vdp[i][j] = max(yes_input, no_input)else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[data_len-1][weight]

4. 优化

可以看的出来i这个变量其实就是表示“第i个”的一个递增序列，实际的这个背包的当前的状态只有重量（w）和价值（v）
根据刚才的状态方程：

# 不放进去
dp[i][j]=dp[i-1][j]# 放进去
dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]] + v[i]

观察两个状态方程，可以看到对于背包重量的状态j与i无关，因此可以把上述方程简化为：

# 不放进去时候，重量不变，价值不变
dp[j] = dp[j] # 放进去的时候，背包重量和价值的变化
dp[j] = dp[j-w[i]] + v[i]

因此可以得到状态转移方程为：

dp[j] = max(dp[j-w[i]] + v[i], dp[j])

根据上述的状态转移方程来实现代码：

def bag_one_dim_0and1(items, weight):# 数据是从1开始的data_len = len(items)row = data_len + 1col = weight + 1# 生成一维数组# 原生的Python可以这么写：# dp = [[0] * col]# 使用numpy生成一个dp数组dp = np.array([0] * col)for i in range(1, row):if i == data_len:breakitem = items[i]v = item.get("value")w = item.get("weight")for j in range(weight, w, -1):dp[j] = max(dp[j-w]+v, dp[j])return dp[weight]

【1】此处为何倒序遍历呢？
首先我们观察优化后和优化前的状态转移方程：

# 优化之前
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])# 优化之后
dp[j] = max(dp[j-w[i]] + v[i], dp[j])

因此实际上优化后的状态转移方程是：

dp[j](第i轮的新值) = max(dp[j-w[i]] + v[i]（第i-1轮的旧值）, dp[j]（第i-1轮的旧值）)

优化后的状态转移方程实际上就是用最新的值把上一轮的值覆盖掉，所以可以在一个一维数组中完成状态转移，而且得保证：这一轮状态只能是由上一轮的状态推出来的。
为什么需要逆序遍历，此处如果从背包问题的物理操作去解释不好解释，简单的从数学上去理解就是：

我们这个j-w[i]是做减法的，而这个j又是数组的下标，做减法之后就表示是之前的数据。由于需要用新的值把旧的值进行覆盖，就需要保证在此数据是没有被改动过的，也就是原封不动第i-1轮的数据与当前第i轮的数据进行比较。因此此处如果是顺序的话，这个数据就已经是第i轮更新的数据与第i轮的数据进行比较了。

5. 测试

我们给出01背包的测试数据

{'items': [{'number': 1,'weight': 49,'value': 241}, {'number': 1,'weight': 25,'value': 724}, {'number': 1,'weight': 91,'value': 780}, {'number': 1,'weight': 76,'value': 824}, {'number': 1,'weight': 92,'value': 968}, {'number': 1,'weight': 53,'value': 276}, {'number': 1,'weight': 6,'value': 492}, {'number': 1,'weight': 53,'value': 745}, {'number': 1,'weight': 62,'value': 136}, {'number': 1,'weight': 94,'value': 568}],'total_weight': 200,'things_num': 10
}

输出：

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