MIT 线性代数 1-5讲总结:消元、主元、初等矩阵、不可逆矩阵的证明、高斯-约尔当求逆、上下三角矩阵、置换矩阵、转置、向量空间与子空间
1.增广矩阵
系数矩阵右边加一列(线性方程组的解)
2.消元与主元
主元(图中绿色圈中的元素):消元的关键,不能为0,为0则需行变换改变主元
3.初等矩阵
通过将n倍的某行加到令一行达到消元的目的
而这种手段也是通过矩阵乘法进行的
E:element matrix:初等矩阵
:将原矩阵第n行m列的元素归零需要的矩阵
红色部分为固定的,绿色部分为需要考虑的
:为了将2行1列的元素归零,我们需要利用本行前面行的元素来清除他(第二行前面的行只有第一行,因此只有一个能考虑的)
第一行:1 0 0:数字n为需要原矩阵n个第几行:需要1个第一行,0个第二行和第三行
第二行:-3 1 0:需要1个第二行,-3个第一行和0个第三行
:将第3行第2列元素清零可用前两行(即两个绿色元素)
初始矩阵的融合
由乘法结合律可将两初始矩阵二合为一
4.矩阵的乘法
1.将矩阵B分解为列,矩阵A分别与矩阵B的所有列相乘,最后将所得合并
2.矩阵B分解为行,矩阵A分别与矩阵B所有行相乘最后合并(与1类似)
3.初始矩阵的乘法:左矩阵当初始矩阵,:得出的结果的第三行需要原始矩阵的个第二行
4.一个个元素计算:答案的第ij个元素(1x1)为第i行的元素(1xm)乘第j列的元素(mx1)
5.矩阵的逆
矩阵与他的逆相乘为单位矩阵:
不可逆矩阵(奇异矩阵)的证明
矩阵A, 取一x使得Ax=0 即x=
若A有逆则,但
高斯-约尔当公式求逆
AB的逆为:
6.A=LU
因为: 所以: 所以:
L:下三角矩阵 U:上三角矩阵 D(diagonal):对角矩阵
7.置换矩阵(permutation)
行重新排列的单位矩阵,n阶矩阵的置换矩阵的个数为n!
例:三阶矩阵的所有置换矩阵 6种
定义:
8.转置(transpose)
对称矩阵(symmetric matrix):
9.向量空间与子空间
向量空间内的向量必须满足向量加法(向量空间内两向量相加仍在该向量空间内)与向量乘法(向量空间内某向量×一个标量,其仍在该向量空间中)
以二维空间举例:
向量a:(2,3)向量b:(1,4)
a+b=(3,7)仍在向量空间(二维空间)内,5a=(10,15)仍在向量空间内
线性组合:a+b、5a即为两个线性组合
子空间(subspace):子空间为向量空间的子集,本身也为向量空间
二维空间子空间:1.二维空间本身 2.穿过原点的直线 3.原点本身
穿过原点的直线:直线上的任何向量相加都仍处在直线上,任何向量与任何系数相乘都在直线上(与0相乘则为(0,0)向量,所以必须过原点)
原点本身:只有一个向量(0,0),相加为(0,0),乘任何系数也为(0,0)
三维空间的子空间:1.三维空间本身,2.过原点的平面,3.过原点的线,4.原点
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