关于信噪比与向已知信号添加噪声的整理及个人心得

说起“向已知信号添加噪声”，有一个帖子不得不提，那是由happy教授介绍的两个常用函数，这里引用一下：
%=============================happy=================================%
MATLAB中产生高斯白噪声非常方便，可以直接应用两个函数，一个是WGN，另一个是AWGN。WGN用于产生高斯白噪声，AWGN则用于在某一信号中加入高斯白噪声。

1. WGN：产生高斯白噪声
y = wgn(m,n,p) 产生一个m行n列的高斯白噪声的矩阵，p以dBW为单位指定输出噪声的强度。
y = wgn(m,n,p,imp) 以欧姆(Ohm)为单位指定负载阻抗。
y = wgn(m,n,p,imp,state) 重置RANDN的状态。

在数值变量后还可附加一些标志性参数：
y = wgn(…,POWERTYPE) 指定p的单位。POWERTYPE可以是'dBW', 'dBm'或'linear'。线性强度(linear power)以瓦特(Watt)为单位。
y = wgn(…,OUTPUTTYPE) 指定输出类型。OUTPUTTYPE可以是'real'或'complex'。

2. AWGN：在某一信号中加入高斯白噪声
y = awgn(x,SNR) 在信号x中加入高斯白噪声。信噪比SNR以dB为单位。x的强度假定为0dBW。如果x是复数，就加入复噪声。
y = awgn(x,SNR,SIGPOWER) 如果SIGPOWER是数值，则其代表以dBW为单位的信号强度；如果SIGPOWER为'measured'，则函数将在加入噪声之前测定信号强度。
y = awgn(x,SNR,SIGPOWER,STATE) 重置RANDN的状态。
y = awgn(…,POWERTYPE) 指定SNR和SIGPOWER的单位。POWERTYPE可以是'dB'或'linear'。如果POWERTYPE是'dB'，那么SNR以dB为单位，而SIGPOWER以dBW为单位。如果POWERTYPE是'linear'，那么SNR作为比值来度量，而SIGPOWER以瓦特为单位。

注释
1. 分贝(decibel, dB)：分贝（dB）是表示相对功率或幅度电平的标准单位，换句话说，就是我们用来表示两个能量之间的差别的一种表示单位，它不是一个绝对单位。例如，电子系统中将电压、电流、功率等物理量的强弱通称为电平，电平的单位通常就以分贝表示，即事先取一个电压或电流作为参考值（0dB），用待表示的量与参考值之比取对数，再乘以20作为电平的分贝数（功率的电平值改乘10）。
2. 分贝瓦(dBW, dB Watt)：指以1W的输出功率为基准时，用分贝来测量的功率放大器的功率值。
3. dBm (dB-milliWatt)：即与1milliWatt（毫瓦）作比较得出的数字。
0 dBm = 1 mW
10 dBm = 10 mW
20 dBm = 100 mW
也可直接用randn函数产生高斯分布序列，例如：

y=randn(1,2500);
y=y/std(y);
y=y-mean(y);
a=0.0128;
b=sqrt(0.9596);
y=a+b*y;

就得到了 N ( 0.0128, 0.9596 ) 的高斯分布序列

产生指定方差和均值的随机数
设某个随机变量x均值为mu，方差为var^2，若要产生同样分布的随机变量y，但使新的随
机变量参数改变，均值为mu_1，方差为var_1^2，可以用如下公式进行变换：
y=var_1/var*(x-mu)+mu_1，其中x为随机变量，其余为常数（原分布参数）。
具体到正态分布，若要产生均值为u，方差为o^2的M*N的随机数矩阵，可以用
y=o*randn(M,N)+u得到。
对于均匀分布，若要产生[a,b]区间的均匀分布的M*N的随机数矩阵，则可以用
y=rand(M,N)*(b-a)+a得到。
%===================================================================%

上述资料基本上完整地描述了原始问题，不过有几点内容附带说明一下：

1. 首先更正一个错误，我认为在“生成N ( 0.0128, 0.9596 ) 的高斯分布序列”的程序中，应该改为以下的代码：
%===================eight=====================================%
y=randn(1,2500);
y=y-mean(y);
y=y/std(y);
a=0.0128;
b=sqrt(0.9596);
y=a+b*y;
%==========================================================%
注：经验证，“先除方差后减均值” 与 “先减均值后除方差” 两者是一致的

2. 上面资料最后部分隐含了一个出自zhyuer 版友的结论：
%==========================zhyuer===================================%
1) rand产生的是[0，1]上的均匀分布的随机序列
2) randn产生均值为0，方差为1的高斯随机序列，也就是白噪声序列；
%===================================================================%
也就是说，可以直接使用上面两个函数对原始信号添加噪声（例如y=x+rand(length(x),1)或者y=x+randn(length(x),1)）

3. 事实上，无论是wgn还是awgn函数，实质都是由randn函数产生的噪声。即，wgn函数中调用了randn函数，而awgn函数中调用了wgn函数。下面就我熟悉的“向已知信号添加某个信噪比（SNR）的高斯白噪声”来说明一下，不过如果大家阅读过awgn的实现代码就不用看下去了，呵呵。从上述可知，这个任务可以使用awgn函数实现，具体命令是：awgn(x,snr,’measured’,'linear’)，命令的作用是对原信号f(x)添加信噪比（比值）为SNR的噪声，在添加之前先估计信号f的强度。这里涉及三个问题：在awgn这个函数中，SNR是如何计算的？什么是信号的强度？awgn函数具体是如何添加噪声的？事实上，前两个问题是相关的，因为根据定义，SNR就是信号的强度除以噪声的强度，所以，首先来讲讲信号的强度。其实信号的强度指的就是信号的能量，在连续的情形就是对f(x)平方后求积分，而在离散的情形自然是求和代替积分了。在matlab中也是这样实现的，只不过多了一个规范化步骤罢了：
sigPower = sum(abs(sig(:)).^2)/length(sig(:))
这就是信号的强度。至此，SNR的具体实现也不用多说了（注：由于采用的是比值而非db，所以与下面“计算信噪比”所使用的方式不同，即没有求对数步骤）。
最后说说awgn函数具体是如何添加噪声的。事实上也很简单，在求出f的强度后，结合指定的信噪比，就可以求出需要添加的噪声的强度noisePower=sigPower/SNR。由于使用的是高斯白噪声即randn函数，而randn的结果是一个强度为1的随机序列（自己试试sum(randn(1000,1).^2)/1000就知道了，注意信号的长度不能太小）。于是，所要添加的噪声信号显然就是：sqrt(noisePower)*randn(n,1)，其中n为信号长度。

4. 上面所说的都是具有分布特性（相关的）随机序列，如果需要添加不相关的随机序列，则可以使用jimin版友的方法：
%========================jimin=======================================%
for i=1:100
x(i)=randn(1);
end
%===================================================================%
即先产生噪声信号，后再与原信号叠加。

最后是另外的一些常见问题，整理如下：

1. Matlab中如何产生值为0，1的随机序列？ round(rand(5))

2. Matlab中如何计算信噪比？下面的代码转自Happy教授：

%===========================Happy===================================%
function snr=SNR(I,In)
% 计算信号噪声比函数
% by Qulei
% I :original signal
% In:noisy signal(ie. Original signal + noise signal)
% snr=10*log10(sigma2(I2)/sigma2(I2-I1))

[row,col,nchannel]=size(I);

snr=0;
if nchannel==1%gray image
Ps=sum(sum((I-mean(mean(I))).^2));%signal power
Pn=sum(sum((I-In).^2));%noise power
snr=10*log10(Ps/Pn);
elseif nchannel==3%color image
for i=1:3
Ps=sum(sum((I(:,:,i)-mean(mean(I(:,:,i)))).^2));%signal power
Pn=sum(sum((I(:,:,i)-In(:,:,i)).^2));%noise power
snr=snr+10*log10(Ps/Pn);
end
snr=snr/3;
end
%===================================================================%

3. 随机产生1-n的索引排列：randperm函数

4. 随机产生1-60的正整数一个（三种方法）：

A=randperm(60);

b=A(1)；

A=round(100*rand(1,10))；

b=A(1)；

b = unidrnd(60,1,1)；

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