机器学习排序算法：RankNet to LambdaRank to LambdaMART

使用机器学习排序算法LambdaMART有一段时间了，但一直没有真正弄清楚算法中的所有细节。

学习过程中细读了两篇不错的博文，推荐给大家：

梯度提升树(GBDT)原理小结

徐博From RankNet to LambdaRank to LambdaMART: An Overview

但经过一番搜寻之后发现，目前网上并没有一篇透彻讲解该算法的文章，所以希望这篇文章能够达到此目的。

本文主要参考微软研究院2010年发表的文章From RankNet to LambdaRank to LambdaMART: An Overview11，并结合自己的理解，试图将RankNet、LambdaRank和LambdaMART这三种算法的所有算法细节讲解透彻。

1. 概述

RankNet、LambdaRank和LambdaMART是三个关系非常紧密的机器学习排序算法。简而言之，RankNet是最基础，基于神经网络的排序算法；而LambdaRank在RankNet的基础上修改了梯度的计算方式，也即加入了lambda梯度；LambdaMART结合了lambda梯度和MART（另称为GBDT，梯度提升树）。这三种算法在工业界中应用广泛，在BAT等国内大厂和微软谷歌等世界互联网巨头内部都有大量应用，还曾经赢得“Yahoo！Learning To Rank Challenge(Track 1)"的冠军。本人认为如果评选当今工业界中三种最重要的机器学习算法，以LambdaMART为代表的集成学习算法肯定占有一席之地，另外两个分别是支持向量机和深度学习。

2. RankNet

2.1 算法基础定义

RankNet解决如下搜索排序问题：给定query集合，每个query都对应着一个文档集合，如何对每个query返回排序后的文档集合。可以想象这样的场景：某位高考生在得知自己的成绩后，准备报考志愿。听说最近西湖大学办得不错，所以就想到网上搜搜关于西湖大学的资料。他打开一个搜索引擎，输入“西湖大学”四个字，然后点击“搜索”，页面从上到下显示了10条搜索结果，他认为排在上面的肯定比下面的相关，所以就开始从上往下一个个地浏览。所以RankNet的目标就是对所有query，都能将其返回的文档按照相关性进行排序。

RankNet网络将输入query的特征向量x∈Rnx∈Rn映射为一个实数f(x)∈Rf(x)∈R。RankNet采用pairwise的方法进行模型训练。具体地，给定特定query下的两个文档UiUi和UjUj，其特征向量分别为xixi和xjxj，经过RankNet进行前向计算得到对应的分数为si=f(xi)si=f(xi)和sj=f(xj)sj=f(xj)。用Ui⊳UjUi⊳Uj表示UiUi比UjUj排序更靠前（如对某个query来说，UiUi被标记为“good”，UjUj被标记为“bad”）。继而可以用下面的公式来表示UiUi应该比UjUj排序更靠前的概率：

Pij≡P(Ui⊳Uj)≡11+e−σ(si−sj)Pij≡P(Ui⊳Uj)≡11+e−σ(si−sj)

这个概率实际上就是深度学习中经常使用的sigmoid函数，参数σσ决定sigmoid函数的形状。对于特定的query，定义Sij∈{0,±1}Sij∈{0,±1}为文档ii和文档jj被标记的标签之间的关联，即

Sij=⎧⎩⎨10−1文档i比文档j更相关文档i和文档j相关性一致文档j比文档i更相关Sij={1文档i比文档j更相关0文档i和文档j相关性一致−1文档j比文档i更相关

定义P¯¯¯¯ij=12(1+Sij)P¯ij=12(1+Sij)表示UiUi应该比UjUj排序更靠前的已知概率，则可以用交叉熵定义优化目标的损失函数：

C=−P¯¯¯¯ijlogPij−(1−P¯¯¯¯ij)log(1−Pij)C=−P¯ijlogPij−(1−P¯ij)log(1−Pij)

如果不太熟悉什么是交叉熵，可以参考宗成庆老师的《统计自然语言处理》2.2节“信息论基本概念”，里面将熵、联合熵、互信息、相对熵、交叉熵和困惑度等概念都讲得相当清楚。

结合以上多个公式，可以改写损失函数CC为：

C=12(1−Sij)σ(si−sj)+log(1+e−σ(si−sj))C=12(1−Sij)σ(si−sj)+log(1+e−σ(si−sj))

对于Sij=1Sij=1，

C=log(1+e−σ(si−sj))C=log(1+e−σ(si−sj))

然而对于Sij=−1Sij=−1，

C=log(1+e−σ(sj−si))C=log(1+e−σ(sj−si))

可以看出损失函数CC具有对称性，也即交换ii和jj的位置，损失函数的值不变。

分析损失函数CC的趋势发现，如果对文档UiUi和UjUj的打分可以正确地拟合标记的标签，则CC趋向于0，否则CC趋向于线性函数。具体地，假如Sij=1Sij=1，也即UiUi应该比UjUj排序高，如果si>sjsi>sj，则拟合的分数可以正确排序文档ii和文档jj，

limsi−sj→∞C=limsi−sj→∞log(1+e−σ(si−sj))=log1=0limsi−sj→∞C=limsi−sj→∞log(1+e−σ(si−sj))=log1=0

如果si<sjsi<sj，则拟合的分数不能正确排序文档ii和文档jj，

limsi−sj→∞C=limsi−sj→∞log(1+e−σ(si−sj))=log(e−σ(si−sj))=−σ(si−sj)limsi−sj→∞C=limsi−sj→∞log(1+e−σ(si−sj))=log(e−σ(si−sj))=−σ(si−sj)

利用神经网络对模型进行训练，目前最有效的方法就是反向传播算法。反向传播算法中最核心部分就是损失函数对模型参数的求导，然后可以使用下面的公式对模型参数进行迭代更新：

wk←wk−η∂C∂wk=wk−η(∂C∂si∂si∂wk+∂C∂sj∂sj∂wk)wk←wk−η∂C∂wk=wk−η(∂C∂si∂si∂wk+∂C∂sj∂sj∂wk)

损失函数CC对sisi和sjsj的偏导数为：

∂C∂si=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))=−∂C∂sj∂C∂si=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))=−∂C∂sj

sisi和sjsj对wkwk的偏导数可根据神经网络求偏导数的方式求得。求得了损失函数CC对神经网络模型参数wkwk的偏导数之后，就可以使用梯度下降算法对其更新。这里的学习率ηη也是一个正数，因为ηη需要满足下面的不等式：

δC=∑k∂C∂wkδwk=∑k∂C∂wk(−η∂C∂wk)=−η∑k(∂C∂wk)2<0δC=∑k∂C∂wkδwk=∑k∂C∂wk(−η∂C∂wk)=−η∑k(∂C∂wk)2<0

2.2 RankNet分解形式：加速RankNet训练过程

2.1节中定义的RankNet，对于每一个文档对(Ui(Ui,Uj)Uj)都将计算损失函数对神经网络的参数wkwk的偏导数，然后更新模型参数wkwk。这样做的缺点在于，对模型参数更新慢，耗时长。所以本节讲解如何通过分解组合的方式加快这一训练过程。

对于给定的文档对UiUi和UjUj，损失函数CC对参数wkwk的偏导数为：

∂C∂wk=∂C∂si∂si∂wk+∂C∂sj∂sj∂wk=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))(∂si∂wk−∂sj∂wk)=λij(∂si∂wk−∂sj∂wk)∂C∂wk=∂C∂si∂si∂wk+∂C∂sj∂sj∂wk=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))(∂si∂wk−∂sj∂wk)=λij(∂si∂wk−∂sj∂wk)

其中：

λij=∂C(si−sj)∂si=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))λij=∂C(si−sj)∂si=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))

定义II为索引对{i,j}{i,j}的集合，在不损失信息量的情况下，可以将集合II中的索引对都转换成满足Ui⊳UjUi⊳Uj的形式。另外集合II中的索引对还应该满足最多只出现一次的条件。在此基础上，累加权重参数wkwk的更新量：

δwk=−η∑(i,j)∈I(λij∂si∂wk−λij∂sj∂wk)=−η∑iλi∂si∂wkδwk=−η∑(i,j)∈I(λij∂si∂wk−λij∂sj∂wk)=−η∑iλi∂si∂wk

其中：

λi=∑j:{i,j}∈Iλij−∑j:{j,i}∈Iλijλi=∑j:{i,j}∈Iλij−∑j:{j,i}∈Iλij

通俗地说，λiλi就是集合II中所有{i,j}{i,j}的λijλij的和−−集合II中所有{j,i}{j,i}的λijλij的和。如果还是不太明白，那看下面这个例子就明白了。集合I={{1,2},{2,3},{1,3}}I={{1,2},{2,3},{1,3}}，则

δwk=−η∑{i,j}∈I(λij∂si∂wk−λij∂sj∂wk)=−η(λ12∂s1∂wk−λ12∂s2∂wk+λ13∂s1∂wk−λ13∂s3∂wk+λ23∂s2∂wk−λ23∂s3∂wk)=−η((λ12+λ13)∂s1∂wk+(λ23−λ12)∂

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