数据结构 实验14（1-2班）：（深入理解索引存储结构）三元组存储的稀疏矩阵建立行列索引并求鞍点
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前言：
需求分析：
难点分析：
代码和思路详解：
三元组表的头文件：
建立索引思路：
什么是三元组表的索引：
结合题意实现索引表：
建立索引表的代码实现：
索引表的结构体定义：
索引表的创建思路：
索引表创建的代码实现：
打印索引表：
求鞍点的思路：
基本思路：
注意事项：
求鞍点的代码实现：
程序测试：
main()函数：
行优先三元组表：
列优先三元组表：
三元组表tup的源文件：
总结：
前言：
两个实验14——三元组、广义表，个人写下来，要写好还是这个实验更难一些（也可能是因为我递归写的比较熟悉），这个实验完善后的代码量比广义表复制那个实验多了一倍。
需求分析：
如果矩阵A中存在这样的一个元素A[i][j]满足以下条件：A[i][j]是第i行中值最小的元素，且又是第j列中值最大的元素，则称A[i][j]为矩阵A的一个鞍点。
假设稀疏矩阵A（大小是m×n）已经用三元组表存放。要求建立行索引和列索引实现求鞍点的算法，如果没有鞍点，也给出相应信息。
难点分析：
1.如果是二维数组存储的矩阵实现起来非常简单，但是已经用三元组存储好了，我们并不知道是行优先存储还是列优先存储，需要分情况。
2.行优先或者列优先建立索引和遍历都有区别。
3.三元组表存储的稀疏矩阵，得考虑到某一行若全是大于0的数时，行最小大于0；若某一列全是负数，列最大小于0。
代码和思路详解：
三元组表的头文件：
我在头文件定义了三元组表示稀疏矩阵的结构体、行优先建表、列优先建表和打印三元组；初始化三元组是在建表是内部调用的，方便后续的测试。源文件我放在最后，我们主要讲索引和求鞍点。
/*
**作者：李宗霖 日期：2023/5/10
**三元组表示稀疏矩阵算法库2
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef struct {int r; //行 int c; //列 int v; //非零元素
}TraidNode, *Traid; //三元组 typedef struct {int rows; //行数 int cols; //列数 int nums; //非零元素数 Traid data; //用指针可以根据nums开空间
}TSmat, *TSMatrix; //稀疏矩阵的三元组表 TSMatrix InitTSM(int *MAT, int rows, int cols); //初始化三元组表
TSMatrix RFCreat(int *MAT, int rows, int cols); //行优先建表
TSMatrix CFCreat(int *MAT, int rows, int cols); //列优先建表
void DispTraid(TSMatrix t); //打印三元组表 建立索引思路：
什么是三元组表的索引：
稀疏矩阵在转化成三元组表存储后，大大节省了空间，但是失去了随机存取的性质，需要通过遍历寻找某一元素，而遍历最坏情况的时间复杂度为O(mn)，所以我们可以通过建立一个索引（相当于目录）来节省时间，最坏情况时间复杂度为O(m)或O(n)，这取决于这个三元组是行优先还是列优先，所以索引也分为行索引和列索引。
如图1是带行索引的三元组表，没有索引要查找第6行元素需要将前面所有元素都遍历一遍，建了索引之后可以立马找到第六行的第一个元素，从第六行第一个元素开始遍历；如果没有索引要查找是否有第4行元素，需要将前面的所有元素遍历，建立索引，行为4的索引指向行3结束后的第一个元素，行为5，大于4说明没有行4元素。综上索引表可以帮助我们快速定位到目标行/列所在第一个元素，大大加快查找速度。
结合题意实现索引表：
题目需要查找第i行最小元素，和第j列的最大元素，所以我们的索引表除了可以存储查找起始位置外，我们还可以行索引存当前行最小值，列索引存当前列最大值如图2：
图上可以看到，当三元组表行优先时，列无序，列索引存储的位置没法确定，用数组的话，可以一个二元数组存放行索引，一个一元数组存放列索引，这里我定义了一个Index结构体，因为不知道行列大小所以用三个指针动态开空间：*loca存放遍历起始位置，*rvmin存放行最小元素，*cvmax存放列最大元素；r：row行，c：col列，v：value元素。
建立索引表的代码实现：
索引表的结构体定义：
如果是行优先*loca存放行索引，列优先则是存放列索引，为了区分更方便，定义了一个int tag，tag==0时行优先，tag==1时列优先：
typedef struct {int tag; //标志：tag==0，行优先索引；tag==1，列优先索引 int *loca; //行优先则存储对应行非0元素在三元组中出现位置，列优先亦然 int *rvmin; //存储对应行的最小元素值（r：行，v：元素）int *cvmax; //存储对应列的最大元素值（c：列，v：元素）
}Index;索引表的创建思路：
1.判断行优先还是列优先：
三元组表t是已经存储好的，我们并不知道到底是行优先还是列优先，所以我们需要在遍历的过程中去判断三原组表的优先级。
我这里的思路是定义一个lastrow存储遍历过程中访问的上一个行标，如果lastrow大于现在正在访问的行标row，说明行标是无序的，那就是列优先，将lastrow置为-1。如果从头到尾row一直>=lastrow，那说明row是有序的，就是行优先，行和列都有序默认为行优先。
2.对rvmin数组和cvmax数组的初始化：
在初始化方面如果第一次写思路很顺的话下意识就给全部初始化为0了，我最开始写就写成这样了，后面测试发现有问题修改的，这个是很容易被忽略的问题。
之前说了行的最小值可能不为0，即整个行元素都大于0，如果初始化为0，0永远小于正整数，而0不被记录在三元组内，则rvmin的值永远小于等于0，很显然有问题。很多人也很容易想到，赋值0不行，那我遍历一遍获取整个矩阵的最大值再赋值给rvmin不就行了？那当然，没有那么简单；如果全部赋值为最大值，0不被记录，解决了某行全部元素大于0的问题，但是其他不是所有元素大于0的行不九出问题了，明明最小值为0，0没被记录，所以0不是最小值。下面我给出我能想到的最简单的方法：
思路就是全部赋值为矩阵最大值，不过最后还需要加上判断语句，如果行非0元素的数量小于矩阵的列数，并且，当前rvmin[i]>0的时候rvmin[i]=0。计算非0元素数量我们后续操作也有用。
解决rvmin，还有cvmax，当某一列元素全为负数的时候0恒大于负数，存储的最大值为0，实际最大值是小于0的数，解决思路和上面一样，如果非0元素数量小于矩阵行数，并且，当前cvmax[i]<0的时候cvmax[i]=0。
3.对rvmin，cvmax，loca的赋值
rvmin和cvmax的赋值非常简单，初始化完成之后，在遍历三元组表的过程中进行比较，符合条件的赋值。
loca的赋值和三元组的快速转置思路相同：我们先确定标号为1的访问位置为0，我们需要计算出每行/每列非0元素的个数，上一行/列的首元素位置+上一行/列元素数量=当前行/列首元素的位置。
索引表创建的代码实现：
为了更符合我们的阅读习惯（从第1行开始而不是第0行）rvmin[0]，cvmax[0]，loca[0]，我们可以不存放数据，但是为了我们后续输出索引表方便遍历，我们可以分别存放，矩阵的行数，矩阵的列数，和非0元素个数。
代码分为几个部分：Index的初始化（开空间）->计算矩阵最大最小值并初始化rvmin，cvmax，rvnum，cvnum ->遍历三元组表求出各行最小元素值，各列最大元素值，各行、列非0元素数量，并判断是行优先还是列优先 ->根据优先级*loca开空间并赋值（上一行/列位置+上一行/列的数量）。
Index *CreatIndex(TSMatrix t) {//rvmin，cvmax开空间 Index *I = (Index *)malloc(sizeof(Index));I->rvmin = (int *)malloc((t->rows+1)*sizeof(int));I->cvmax = (int *)malloc((t->cols+1)*sizeof(int));//rvnum存各行的非0元素数量，cvnum存各列的非0元素数量 int i, max = 0, min = 0;int rvnum[t->rows+1], cvnum[t->cols+1];//max获取矩阵最大值，min获取矩阵最小值 for(i = 0; i < t->nums; i++) {if(max < t->data[i].v) max = t->data[i].v;else if(min > t->data[i].v) min = t->data[i].v;}//rvmin初始化为矩阵最大值，cvmax初始为举证最小值，num初始化为0 for(i = -1; i < t->rows && i < t->cols; i++) {if(i < t->rows) {I->rvmin[i+1] = max;rvnum[i+1] = 0;}if(i < t->cols) {I->cvmax[i+1] = min;cvnum[i+1] = 0;}}I->rvmin[0] = t->rows;I->cvmax[0] = t->cols;//遍历三元组表，lastrow记录上一个三元组的行标，若行标无序判断为列优先 int lastrow = t->data[0].r;for(i = 0; i < t->nums; i++) {//遍历求出各行最小元素值，各列最大元素值，各行、列非0元素数量 int row = t->data[i].r;rvnum[row]++;int col = t->data[i].c;cvnum[col]++;if(t->data[i].v < I->rvmin[row]) I->rvmin[row] = t->data[i].v;if(t->data[i].v > I->cvmax[col]) I->cvmax[col] = t->data[i].v;if(lastrow != -1) {if(lastrow <= row) lastrow = row;else lastrow = -1;}}//某行不全是非0元素且最小值不小于0，置为0 for(i = 1; i < t->rows + 1 && i < t->cols + 1; i++) {if(i < t->rows + 1 && rvnum[i] != t->cols && I->rvmin[i] > 0)I->rvmin[i] = 0;if(i < t->cols + 1 && cvnum[i] != t->rows && I->cvmax[i] < 0)I->cvmax[i] = 0;}//行优先三元组表，位置索引为行索引，记录每一行第一个元素在三元组表中出现的位置 if(lastrow != -1) {I->tag = 0;I->loca = (int *)malloc((t->rows+1)*sizeof(int));I->loca[0] = t->nums;I->loca[1] = 0;for(i = 1; i < t->rows; i++) {I->loca[i+1] = I->loca[i] + rvnum[i];}}//列优先三元组表 else {I->tag = 1;I->loca = (int *)malloc((t->cols+1)*sizeof(int));I->loca[0] = t->nums;I->loca[1] = 0;for(i = 1; i < t->cols; i++) {I->loca[i+1] = I->loca[i] + cvnum[i];}}return I;
}打印索引表：
void DispIndex(Index *I) {int i;if(I->tag == 0) {printf("\n行优先三元组表索引：");printf("\n行号：\t\t");for(i = 1; i < I->rvmin[0] + 1; i++)printf("%d\t", i);printf("\n遍历起始位：\t");for(i = 1; i < I->rvmin[0] + 1; i++)printf("%d\t", I->loca[i]);printf("\n行最小元素：\t");for(i = 1; i < I->rvmin[0] + 1; i++)printf("%d\t", I->rvmin[i]);printf("\n\n列号：\t\t");for(i = 1; i < I->cvmax[0] + 1; i++)printf("%d\t", i);printf("\n列最大元素：\t");for(i = 1; i < I->cvmax[0] + 1; i++)printf("%d\t", I->cvmax[i]); }else {printf("\n列优先三元组表索引：");printf("\n行号：\t\t");for(i = 1; i < I->rvmin[0] + 1; i++)printf("%d\t", i);printf("\n行最小元素：\t");for(i = 1; i < I->rvmin[0] + 1; i++)printf("%d\t", I->rvmin[i]);printf("\n\n列号：\t\t");for(i = 1; i < I->cvmax[0] + 1; i++)printf("%d\t", i);printf("\n遍历起始位：\t");for(i = 1; i < I->cvmax[0] + 1; i++)printf("%d\t", I->loca[i]);printf("\n列最大元素：\t");for(i = 1; i < I->cvmax[0] + 1; i++)printf("%d\t", I->cvmax[i]); }printf("\n");
}求鞍点的思路：
基本思路：
我们建立的索引表中包含了每一行的最小值*rvmin，和每一列的最大值*cvmax，只需要i遍历行，j遍历列，判断rvmin[i]==cvmax[j]，那么点A[i][j]就是第i行最小值，第j列最大值，即鞍点。
注意事项：
1.我们在遍历过程中需要判断是否有鞍点，我的思路是建立一个int have=0，如果判断有鞍点have=1，遍历完成have=0，则没有鞍点。
2.如果判断有鞍点后，我们需要获取鞍点的值，如果遍历整个三元组表那就是置索引于枉然。我们在这里需要使用三元组表的索引查找来节省时间，快速判断三元组表是否存在点i，j，存在赋值，不存在则鞍点值为0，注意遍历也需要区分是行优先还是列优先。
求鞍点的代码实现：
上面建索引比较难，建成索引，求鞍点就洒洒水啦。
void GetSaddle(Index *I, TSMatrix t) {int i, j, val;int have = 0; //have作为标志判断是否存在鞍点，存在have=1 for(i = 1; i < t->rows + 1; i++) {for(j = 1; j < t->cols + 1; j++) {if(I->rvmin[i] == I->cvmax[j]) { //判断点(i,j)是否是鞍点 val = 0; //鞍点的值默认为0，与三元组表成功匹配则赋值 have = 1; //鞍点存在 int k; //k作为访问三元组表的指针 if(I->tag == 0) { //行优先 for(k = I->loca[i]; t->data[k].r == i; k++) {if(t->data[k].c == j) {val = t->data[k].v;break; //匹配成功直接退出节约时间 }}}else { //列优先 for(k = I->loca[j]; t->data[k].c == j; k++) {if(t->data[k].r == i) {val = t->data[k].v;break;}}}printf("\n鞍点：(%d,%d) = %d", i, j, val);}}}printf("\n");//鞍点不存在输出提示信息 if(have == 0) printf("在这个稀疏矩阵中没找到鞍点啦！！！\n");
}程序测试：
main()函数：
int MAT[M][N] = {{1, 0, 0, 5, 0},{0, 0, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0},{7, 6, 8, 5, 9},{0, 0, 0, 0, 0},{0, 0, 3, 0, 0}};int i, j;for(i = 0; i < M; i++) {for(j = 0; j < N; j++)printf("%d\t", MAT[i][j]);printf("\n");}TSMatrix rft = RFCreat(*MAT, M, N);Index *rfI = CreatIndex(rft);TSMatrix cft = CFCreat(*MAT, M, N);Index *cfI = CreatIndex(cft);DispTraid(rft);DispIndex(rfI);GetSaddle(rfI, rft);DispTraid(cft);DispIndex(cfI);GetSaddle(cfI, cft);return 0;
}行优先三元组表：
列优先三元组表：
大家可以多测试几组一些矩阵试试，我测试下来没有任何问题
三元组表tup的源文件：
/*
**作者：李宗霖 日期：2023/5/10
**三元组表示稀疏矩阵算法库2
*/
#include "tup.h"//初始化
TSMatrix InitTSM(int *MAT, int rows, int cols) {//计算非0元素个数nums int i, j, nums = 0;for(i = 0; i < rows; i++) {for(j = 0; j < cols; j++) {if(MAT[i*cols+j] != 0) nums++;}}TSMatrix t = (TSMatrix)malloc(sizeof(TSmat));t->rows = rows;t->cols = cols;t->nums = nums;t->data = (Traid)malloc(nums * sizeof(TraidNode));return t;
}//行优先建表
TSMatrix RFCreat(int *MAT, int rows, int cols) {TSMatrix t = InitTSM(MAT, rows, cols);int i, j, k = 0;for(i = 0; i < rows; i++) {for(j = 0; j < cols; j++) {if(MAT[i*cols+j] != 0) {t->data[k].r = i + 1;t->data[k].c = j + 1;t->data[k++].v = MAT[i*cols+j];}}}return t;
}//列优先建表
TSMatrix CFCreat(int *MAT, int rows, int cols) {TSMatrix t = InitTSM(MAT, rows, cols);int i, j, k = 0;for(j = 0; j < cols; j++) {for(i = 0; i < rows; i++) {if(MAT[i*cols+j] != 0) {t->data[k].r = i + 1;t->data[k].c = j + 1;t->data[k++].v = MAT[i*cols+j];}}}return t;
}//打印三元组表
void DispTraid(TSMatrix t) {printf("\n %d\t%d\t%d\n", t->rows, t->cols, t->nums);printf(" ----------------\n");int i;for(i = 0; i < t->nums; i++) {printf(" %d\t%d\t%d\n", t->data[i].r, t->data[i].c, t->data[i].v);}
}总结：
主要是理解索引表是如何实现的，索引表有什么作用，和你需要索引表存储哪些内容。这种类型代码可能第一次写会比较费劲，写过一次之后就会比较简单了。
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