高等数学：第六章 定积分的应用（5）功、水压力和引力
§6.5 功、水压力和引力
一、变力沿直线所作的功
【例1】半径为
的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?
解：建立如图所示的坐标系
将高为的球缺取出水面，所需的力
为：
其中：
是球的重力，
表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。
由球缺公式 
有
从而 
十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从
改变至
时所作的功。
取
为积分变量，则
，对于
上的任一小区间
，变力从到
这段距离内所作的功。
这就是功元素，并且功为
另解 建立如图所示的坐标系
取为积分变量， 则 
，
在 上任取一个小区间
，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为
由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为
将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 。
故功元素为 
二、水压力
在水深为
处的压强为
，这里
是水的比重。
如果有一面积为
的平板水平地放置在水深处，那未，平板一侧所受的水压力为
若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。
【例2】边长为
和
的矩形薄板，与水面成
角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深处。设
，水的比重为，试求薄板所受的水压力
。
解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是
取为积分变量， 则 
(注意： 表示水深)
在
中任取一小区间，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是 
它所承受的水压力约为 
于是，压力元素为
这一结果的实际意义十分明显
正好是薄板水平放置在深度为的水中时所受到的压力；
而
是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为
处所受的水压力。
三、引力
由物理学知道：质量为
、
，相距为的两质点间的引力大小为
为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。
【例3】设有一半径为
， 中心角为
的圆弧形细棒， 其线密度为常数
， 在圆心处有一质量为
的质点
， 试求这细棒对质点的引力。
解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。
解：建立如图所示的坐标系，质点位于坐标原点，该圆弧的参方程为
在圆弧细棒上截取一小段，其长度为
，它的质量为
，到原点的距离为，其夹角为
，它对质点的引力
的大小约为
在水平方向(即轴)上的分力
的近似值为
而 
于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力
的元素，
故 
类似地 
因此，引力的大小为
，而方向指向圆弧的中心。
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