【证明】欧拉公式（泰勒展开）

小时候一直听父亲装逼
eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0eiπ+1=0
心想总有一天我会弄懂，现在可算可以争一口气了
其实这个公式的原型是 eiθ=cosθ+i∗sinθe^{i\theta}=cos\theta+i*sin\thetaeiθ=cosθ+i∗sinθ
前置知识：泰勒展开（用一个多项式去拟合一个复杂函数）

f(x)=∑i=0∞f(i)(x0)(x−x0)ii!f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}f(x)=i=0∑∞i!f(i)(x0)(x−x0)i
证明可以百度，博主是跟这篇学的 here

将 exe^xex 在 0 点展开得到
ex=∑i=0∞xii!e^x=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}ex=i=0∑∞i!xi
将 cos(x)cos(x)cos(x) 在 0 点展开得到
cos(x)=1−x22!+x44!−x66!+...cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...cos(x)=1−2!x2+4!x4−6!x6+...
将 sin(x)sin(x)sin(x) 在 0 点展开得到
sin(x)=x−x33!+x55!−x77!+...sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...sin(x)=x−3!x3+5!x5−7!x7+...
将 x=iθx=i\thetax=iθ 代入得
1+(iθ)1!+(iθ)22!+(iθ)33!+...=(1−θ22!+θ44!−...)+i(θ−θ33!+θ55!−...)1+\frac{(i\theta)}{1!}+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+...=(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-...)+i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-...)1+1!(iθ)+2!(iθ)2+3!(iθ)3+...=(1−2!θ2+4!θ4−...)+i(θ−3!θ3+5!θ5−...)
所以有
eiθ=cosθ+i∗sinθe^{i\theta}=cos\theta+i*sin\thetaeiθ=cosθ+i∗sinθ

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