最小二乘法来龙去脉

目录(?)[+]

最小二乘的背景
举个最简单的例子理解最小二乘
最小二乘的cost function
最小二乘法的求解
矩阵表达形式
注意事项

最小二乘是每个上过大学的同学都接触过的概念与知识点(当然可能纯文科的同学没接触过，但是一般纯文科的同学也不会看这篇文章好像)。最小二乘理论其实很简单，用途也很广泛。但是每次说到最小二乘，总感觉差了点什么似的，好像对于最小二乘的前世今生没有一个特别详细与系统的了解。so，本博主趁着周末的时间，赶紧给详细整理整理，力争把最小二乘是个什么鬼做一个特别详细的说明，争取让学英语学中文学历史学画画唱歌的同学都能看明白。

1.最小二乘的背景

这种东东的来源，比较容易找到而且比较靠谱的途径自然是wiki百科了，以下部分的内容来自wiki百科：
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中，而法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。两人曾为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，见高斯-马尔可夫定理。

2.举个最简单的例子理解最小二乘

现在大家都越来越重视自己的身体健康。现代人最常见的亚健康问题就是肥胖，本博主身体棒棒哒，唯一困扰本博主的健康问题就是超重。（好吧，承认自己是个死胖子就完了）
假设身高是变量X，体重是变量Y，我们都知道身高与体重有比较直接的关系。生活经验告诉我们：一般身高比较高的人，体重也会比较大。但是这只是我们直观的感受，只是很粗略的定性的分析。在数学世界里，我们大部分时候需要进行严格的定量计算：能不能根据一个人的身高，通过一个式子就能计算出他或者她的标准体重？
接下来，我们肯定会找一堆人进行采用（请允许我把各位当成一个样本）。采样的数据，自然就是各位的身高与体重。（为了方便计算与说明，请允许我只对男生采样）经过采样以后，我们肯定会得到一堆数据(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),⋯,(x n ,y n ) ，其中x是身高，y是体重。
得到这堆数据以后，接下来肯定是要处理这堆数据了。生活常识告诉我们：身高与体重是一个近似的线性关系，用最简单的数学语言来描述就是y=β 0 +β 1 x 。于是，接下来的任务就变成了：怎么根据我们现在得到的采样数据，求出这个β 0 与β 1 呢？这个时候，就轮到最小二乘法发飙显示威力了。

3.最小二乘的cost function

在讲最小二乘的详情之前，首先明确两点：1.我们假设在测量系统中不存在有系统误差，只存在有纯偶然误差。比如体重计或者身高计本身有问题，测量出来的数据都偏大或者都偏小，这种误差是绝对不存在的。（或者说这不能叫误差，这叫错误）2.误差是符合正态分布的，因此最后误差的均值为0（这一点很重要)
明确了上面两点以后，重点来了：为了计算β 0 ,β 1 的值，我们采取如下规则：β 0 ,β 1 应该使计算出来的函数曲线与观察值的差的平方和最小。用数学公式描述就是：

Q=min∑ i n (y ie −y i ) 2

其中，y ie 表示根据y=β 0 +β 1 x 估算出来的值，y i 是观察得到的真实值。

可能有很多同学就会不服了，凭什么要用差的平方和最小勒？用差的绝对值不行么？不要骗我们好不好？
本博主不敢骗大家，为了让大家相信，特意找了一种本博主认为比较靠谱的解释：
我们假设直线对于坐标 Xi 给出的预测 f(Xi) 是最靠谱的预测，所有纵坐标偏离 f(Xi) 的那些数据点都含有噪音，是噪音使得它们偏离了完美的一条直线，一个合理的假设就是偏离路线越远的概率越小，具体小多少，可以用一个正态分布曲线来模拟，这个分布曲线以直线对 Xi 给出的预测 f(Xi) 为中心，实际纵坐标为 Yi 的点 (Xi, Yi) 发生的概率就正比于 EXP[-(ΔYi)^2]。（EXP(..) 代表以常数 e 为底的多少次方）。
所以我们在前面的两点里提到，假设误差的分布要为一个正态分布，原因就在这里了。
另外说一点我自己的理解：从数学处理的角度来说，绝对值的数学处理过程，比平方和的处理要复杂很多。搞过机器学习的同学都知道，L1正则就是绝对值的方式，而L2正则是平方和的形式。L1能产生稀疏的特征，这对大规模的机器学习灰常灰常重要。但是L1的求解过程，实在是太过蛋疼。所以即使L1能产生稀疏特征，不到万不得已，我们也还是宁可用L2正则，因为L2正则计算起来方便得多。。。

4.最小二乘法的求解

明确了前面的cost function以后，后面的优化求解过程反倒变得so easy了。
样本的回归模型很容易得出：

Q=∑ i n (y i −β 0 −β 1 x) 2

现在需要确定β 0 、β 1 ，使cost function最小。学过高数的同志们都清楚，求导就OK。对于这种形式的函数求导，so easy，so happy…

∂Q∂β 0 =2∑ i n (y i −β 0 −β 1 x i )(−1)=0∂Q∂β 1 =2∑ i n (y i −β 0 −β 1 x i )(−x i )=0

将这两个方程稍微整理一下，使用克莱姆法则，很容易求解得出：

β 0 =∑x 2 i ∑y i −∑x i ∑x i y i n∑x 2 i −(∑x i ) 2 β 1 =n∑x i y i −∑x i ∑y i n∑x 2 i −(∑x i ) 2

因为求和符号比较多，省略了上标与下标。
根据这个公式，就可以求解出相应的参数。
对应上面的身高体重关系的例子，我们只需要将采样得到的数据，一一代入即可求解。

5.矩阵表达形式

如果我们推广到更一般的情况，假如有更多的模型变量x 1 ,x 2 ,⋯,x m （注意：x 1 是指一个样本，x 1 是指样本里的一个模型相关的变量)，可以用线性函数表示如下：

y(x 1 ,⋯,x m ;β 0 ,⋯,β m )=β 0 +β 1 x 1 +⋯+β m x m

对于n个样本来说，可以用如下线性方程组表示：

β 0 +β 1 x 1 1 +⋯+β j x j 1 +⋯+β m x m 1 =y 1 β 0 +β 1 x 1 2 +⋯+β j x j 2 +⋯+β m x m 2 =y 2 ⋯β 0 +β 1 x 1 i +⋯+β j x j i +⋯+β m x m i =y i ⋯β 0 +β 1 x 1 n +⋯+β j x j n +⋯+β m x m n =y n

如果将样本矩阵x h i 记为矩阵A,将参数矩阵记为向量β ，真实值记为向量Y，上述线性方程组可以表示为：

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 11⋯1 x (1) 1 x (2) 1 ⋯x (m) 1 ⋯⋯⋯⋯ x (1) n x (2) n ⋯x (m) n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⋅⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ β 0 β 1 ⋯β m ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ =⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ y 0 y 1 ⋯y n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

即Aβ=Y
对于最小二乘来说，最终的矩阵表达形式可以表示为：

min||Aβ−Y|| 2

最后的最优解为：

β=(A T A) −1 A T Y

6.注意事项

经典的最小二乘法使用起来够简单粗暴，计算过程也不复杂。但是一个致命的问题就是其对噪声的容忍度很低。试想一下，如果前面我们得到的总采样数据为100个，但是里面有几个大胖子，这几个大胖子就相当于不是普通人的身高-体重系数，他们就是噪声了。如果不采取一些手段对这几个噪声样本进行处理，最后计算出来的身高-体重系数肯定会比正常值要偏大。
对于噪声的处理，比如有加权最小二乘等方法，后续有时间跟大家再讲讲。