【OR】Matlab求解最优化问题(1) 线性规划

【OR】Matlab求解最优化问题(1) 线性规划

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案例

含参数线性规划

参考资料

线性规划问题求解

目前matlab求解线性规划算法主要内点法(interior-point methods)和单纯形法(simplex method)

线性规划的标准数学模型为

min?f(x)s.t.{A?x≤bAeq?x=beqlb≤x≤ub

\min f(x)\\

s.t.\begin{cases}

A\cdot x\leq b\\

Aeq \cdot x=beq\\

lb\leq x\leq ub

\end{cases}minf(x)s.t.??????A?x≤bAeq?x=beqlb≤x≤ub?

函数语法

[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)

输入参数中，x0表示起始迭代点，options为优化参数的设置

输出参数中，fval为找到的最优解，exitflag为迭代停止标识，具体数值含义如下

数值

含义

1

算法收敛于解xxx

0

达到最大迭代次数算法停止，输出的xxx未必为最优解

2

算法没有找到可行解，问题的可行解集为空集

3

原问题为无解，解为无穷

4

算法出现异常，出现非数值情况

5

线性规划的原问题和对偶问题均不可解

7

可行搜索方向向量太小，无法再提高最优解的质量

output为算法计算信息，含义表如下

项目

含义

Algorithm

计算时使用的优化算法

Cgiterations

算法迭代次数

iterations

算法迭代次数

Exit message

返回结束信息

lambda为返回点的拉格朗日乘子信息，含义表如下

项目

含义

Lower

求得解越下界

Upper

求得解越上界

Neqlin

求得解不满足不等式约束

Eqlin

求得解不满足等式约束

线性规划的目标函数为

min?f=?x1?x2?x3s.t.{7x1+3x2+9x3≤18x1+5x2+4x3≤16x1+9x2+5x3≤1x1,x2,x3≥0

\min f=-x_1-x_2-x_3\\

s.t.\begin{cases}

7x_1+3x_2+9x_3\leq 1\\

8x_1+5x_2+4x_3\leq 1\\

6x_1+9x_2+5x_3\leq 1\\

x_1, x_2, x_3\geq 0

\end{cases}minf=?x1??x2??x3?s.t.??????????7x1?+3x2?+9x3?≤18x1?+5x2?+4x3?≤16x1?+9x2?+5x3?≤1x1?,x2?,x3?≥0?

matlab求解代码如下

使用对偶单纯形法

%%

% 目标函数系数

f=[-1, -1, -1];

% 不等式约束的系数矩阵A

A=[7, 3, 9; 8, 5, 4; 6, 9, 5];

% 不等式约束b

b=[1, 1, 1];

% 等式约束矩阵

Aeq=[];

beq=[];

% 变量的上下界

lb=[0, 0, 0];

ub=[];

% 对偶单纯形求解

options=optimset('LargeScale', 'off', 'Algorithm','dual-simplex', 'Display', 'iter');

[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(f, A, b, Aeq, beq, ub)

求解信息如下

使用内点法求解

%%

% 目标函数系数

f=[-1, -1, -1];

% 不等式约束的系数矩阵A

A=[7, 3, 9; 8, 5, 4; 6, 9, 5];

% 不等式约束b

b=[1, 1, 1];

% 等式约束矩阵

Aeq=[];

beq=[];

% 变量的上下界

lb=[0, 0, 0];

ub=[];

%% 内点法法求解

options=optimset('LargeScale', 'off', 'Algorithm','interior-point', 'Display', 'iter');

[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options)

含参数线性规划

求解如下目标函数含参数的线性规划

min?f=?a1x1?a2x2?a3x3s.t.{7x1+3x2+9x3≤18x1+5x2+4x3≤16x1+9x2+5x3≤1x1,x2,x3≥0

\min f=-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3\\

s.t.

\begin{cases}

7x_1+3x_2+9x_3\leq 1\\

8x_1+5x_2+4x_3\leq 1\\

6x_1+9x_2+5x_3\leq 1\\

x_1, x_2,x_3\geq 0

\end{cases}minf=?a1?x1??a2?x2??a3?x3?s.t.??????????7x1?+3x2?+9x3?≤18x1?+5x2?+4x3?≤16x1?+9x2?+5x3?≤1x1?,x2?,x3?≥0?

求解代码如下，在matlab 2018b中默认使用dual-simplex算法进行求解

%% 含参数线性规划

f0=[-1, -1, -1];

a=[1, 1, 1];

f=a.*f0; % 产生目标函数系数

% 不等式约束的系数矩阵A

A=[7, 3, 9; 8, 5, 4; 6, 9, 5];

% 不等式约束b

b=[1, 1, 1];

% 等式约束矩阵

Aeq=[];

beq=[];

% 变量的上下界

lb=[0, 0, 0];

ub=[];

options=optimset('Display', 'iter'); % 显示迭代过程

[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options)

参考资料

金融数量分析 北京航天航空大学出版社 郑志勇

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