文章目录

前言
- 约束
硬约束的轨迹优化
- Corridor-Based Trajectory Optimization
- Bezier Curve Optimization
- Other Options
软约束的轨迹优化
- Distance-Based Trajectory Optimization
- 优化方法

前言

可以看看我的这几篇Blog1，Blog2，Blog3。

上次基于Minimum Snap的轨迹生成，有许多优点，比如：

轨迹让机器人可以在某个时间点抵达某个航点。
任何一个时刻，都能数学上求出期望的机器人的位置、速度、加速度、导数。
Minimum Snap可以把问题转换为凸优化问题。
缺点：
Mnimum Snap可以控制轨迹一定经过中间的哪些航点，但是控制不了航点与航点之间生成的这个“OverShoot”，这在控制里面称之为超调，其实在此处不是叫超调，只是借用了一下这个概念，方便理解。也就是Minimum Snap没有考虑障碍物的环境信息。下图中的直观展示就是在直线上方，与红色曲线之间的差值部分，就是OverShoot，因为此时红线已经经过红色障碍物了。

**综上，Minimum Snap轨迹优化方法非常有利于生成生成光滑连续的轨迹的，但是其天然地不利于做避障。**所以，这次的重点就是，如何修改Minimum Snap，使得其可以去做避障。

约束

环境当中的障碍物表示机器人不可通行的区域，其对偶问题就是环境里的可通行的区域。现在想让Minimum Snap不碰到障碍物：

加一个推力，使得快靠近障碍物的时候，把机器人推回可通行的区域，参考方法软约束的人工势场法。
在可通行的区域中加约束，也可以把轨迹吸引到可通行区域，比如在红色障碍物下面，加上一个绿色的方框，使得机器人走这条路的时候一定通过这个方框，这就是所谓的硬约束。

一个模型，其目标函数为f(x){f}(x)f(x)，有很多的约束条件（等式或者不等式），其中硬约束要求这两类的约束条件一定要在全局的条件下满足的。软约束就是把约束条件全部加到目标函数f(x){f}(x)f(x)里，相当于拉格朗日乘子？

这些约束是被倾向于实现的，而不是严格满足的。因为要减少全局，所以使得h(x)和g(x){h}(x)和{g}(x)h(x)和g(x)的值变小，其实一开始的目的是全局最小，没怎么要求h(x)和g(x){h}(x)和{g}(x)h(x)和g(x)的值，所以就是倾向性的。也称λ1∗g(x)+λ2∗h(x){\lambda}_{1}*g(x)+{\lambda}_{2}*h(x)λ1∗g(x)+λ2∗h(x)为损失函数，下面几幅图就是常用的损失函数。

硬约束的轨迹优化

Corridor-Based Trajectory Optimization

把环境中的信息塞入八叉树地图（格子有大有小，不像栅格地图那样规整），之后利用图搜索算法（A*，JPS）进行搜索，就找到了一条飞行走廊，参考图二的蓝色方框，之后由于空余的位置还很多，所以对走廊膨胀，参考黄色的部分，在膨胀过后的飞行走廊生成分段连续的多项式表示的无人机轨迹。12维到4维同样是利用之前的微分平坦性。

与之前不同的是，在Minimum Snap当中，一段段轨迹之间是有WayPoint的（连续性约束，必须要经过定好的WayPoint），现在的WayPoint是存在在前后两个方块的交界处，只需要通过交界处的走廊就行。

如红色的阴影面积。

那么问题来了，如何使一段多项式的轨迹一定位于这个Cube里面？

将时间T{T}T进行离散，加约束，使得每一个点都在x,y{x},{y}x,y的边界之内，不过这样就要将T{T}T离散成很多份，会使得这个凸优化问题有非常多约束同时非常难解。
采用段与段之间的连接点先施加一个约束，可以保证两端轨迹的中间部分一定经过重叠部分，但没保证不在重叠部分的轨迹不会跑到飞行走廊外面。但是无法直接施加上的，不然很多约束。

采用后验的迭代检测。

与之前的Minimum Snap相比，其连接点是不可以移动的，但是在这里，连接点是可以在方框内自由移动的，因此就算一开始给的时间不是特别好，例如用速度曲线去分配时间，不好的话其迭代检测会自动的去分配时间，进而去优化连接点。

Bezier Curve Optimization

Bezier曲线一定是可以与某个多项式函数有映射的关系的。

以下是B曲线的一些性质。

B曲线总是能通过起始点，并且会终止于最后一个点。

各个性质的应用。

Other Options

来自因特尔实验室的一篇文章，也是前端找Path（RRT Star），在找Path之前会对环境按照方块的大小对障碍物进行膨胀，这个环境膨胀不光是防止碰撞的膨胀，还会把环境进行更多保守的膨胀，之后有了Path会有很多点，在很多点上再继续构造一个个小方块。

以下是利用在无人机编队的轨迹优化。

相当于规划安全距离。

软约束的轨迹优化

Distance-Based Trajectory Optimization

软约束是对机器人产生一个力，使得机器人远离障碍物。最直观的展现方式就是距离描述。
一些硬约束的缺陷如下，对传感器噪点敏感等；软约束就能通过推力而产生一条光滑的轨迹，其优势就是自然的产生光滑的轨迹。软约束也有缺陷，是倾向满足而不是严格满足。

以上推导参考上篇Blog的Minimum Snap推导

ESDF是距离场（参考人工势场法的思想，障碍物较远，惩罚就趋于0；障碍物较近，惩罚呈指数上升。）

优化方法

下降优化方法（容易陷入局部最小值）

线性搜索优化

梯度下降法（同样容易陷入局部最小值）

牛顿方法（不光只看梯度）

Leven法，就是一阶法与二阶法的折中。

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