[从头学数学] 第193节推理与证明

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了[九转金丹]之第五转的修炼。
这次要研究的是[推理与证明]。

正剧开始：

星历2016年04月24日 12:16:07, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[推理与证明]。

<span style="font-size:18px;">>>>
23.5 13.865424623862042#海伦-秦九韶公式
def HQFormula(a, b, c):  p = (a+b+c)/2;  S = math.sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));  return S;#例3
def tmp():#a, b, c = 3, 4, 5a, b, c = 3, 4, 5S1= a*b/2S2 = a*c/2S3 = b*c/2S4 = HQFormula((a*a+b*b)**0.5, (a*a+c*c)**0.5, (b*b+c*c)**0.5);print(S1+S2+S3, S4);</span>

<span style="font-size:18px;">  if (1) {var array = new Array();array[0] = [1];array[1] = [1,1];for (var i = 2; i < 10; i++) {array[i] = [1];for (var j = 1; j < i; j++) {array[i].push(array[i-1][j-1]+array[i-1][j]);}array[i].push(1);}var width = 600, height = 400;var x = width/2, y = 30;var measure = 0, s = '';var len = array.length;for (var i = 0; i < len; i++) {s = array[i].join('    ');measure = plot.measureText(s);plot.fillText(s, x-measure/2, y, measure);y += 30;}}</span>

关于求二面角，小伟找到了这个公式：

<span style="font-size:18px;">>>>
cos =  0.9218142082600806 角度是： 22.80723538641745 度#[数] dihedral angle;
#二面角余弦
def dihedral():xyz = [-1.2999760,0.0173840,-0.7162670,\1.0107690,1.5229620,-0.0945670,\0.0932470,-1.0086090,1.6265070,\-1.2280340,-1.4934410,1.8123150,\0.0932470,-1.0086090,1.6265070,\1.0734260,-1.5230970,2.5155820]#六个点ax1 = xyz[0]ay1 = xyz[1]az1 = xyz[2]bx2 = xyz[3]by2 = xyz[4]bz2 = xyz[5]cx3 = xyz[6]cy3 = xyz[7]cz3 = xyz[8]dx1 = xyz[9]dy1 = xyz[10]dz1 = xyz[11]ex2 = xyz[12]ey2 = xyz[13]ez2 = xyz[14]fx3 = xyz[15]fy3 = xyz[16]fz3 = xyz[17]#面一法线nx = ((cz3-az1)/(cy3-ay1)-(bz2-az1)/(by2-ay1))/((bx2-ax1)/(by2-ay1)-(cx3-ax1)/(cy3-ay1))ny = ((cz3-az1)/(cx3-ax1)-(bz2-az1)/(bx2-ax1))/((by2-ay1)/(bx2-ax1)-(cy3-ay1)/(cx3-ax1))nz = 1#面二法线mx = ((fz3-dz1)/(fy3-dy1)-(ez2-dz1)/(ey2-dy1))/((ex2-dx1)/(ey2-dy1)-(fx3-dx1)/(fy3-dy1))my = ((fz3-dz1)/(fx3-dx1)-(ez2-dz1)/(ex2-dx1))/((ey2-dy1)/(ex2-dx1)-(fy3-dy1)/(fx3-dx1))mz = 1cosAngle = (nx*mx+ny*my+nz*mz)/((math.sqrt(nx**2+ny**2+nz**2))*(math.sqrt(mx**2+my**2+mz**2)));print('cos = ', cosAngle, '角度是：', 180/math.pi*math.acos(cosAngle), '度');</span>

但是在验证的过程中小伟发现这个算法好像有问题：

比如对于下面这个例子：

求一下VAB和ABC的二面角

<span style="font-size:18px;">>>> [2, 5, 2, 5, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 5, 0, 1, 0, 0, 0]
cos =  0.4911436350228293 角度是： 60.584222864016645 度#[数] dihedral angle;
#二面角余弦
#暂时只能算不垂直或平行于xy, xz, yz任一平面的两平面的二面角
#公式寻找中...
def dihedral(points):#points格式是 []*18, 分六个点，每个点x, y, z坐标排列'''xyz = [-1.2999760,0.0173840,-0.7162670,\1.0107690,1.5229620,-0.0945670,\0.0932470,-1.0086090,1.6265070,\-1.2280340,-1.4934410,1.8123150,\0.0932470,-1.0086090,1.6265070,\1.0734260,-1.5230970,2.5155820]'''if (len(points) != 18):return 'inf';xyz = points;#六个点ax1 = xyz[0]ay1 = xyz[1]az1 = xyz[2]bx2 = xyz[3]by2 = xyz[4]bz2 = xyz[5]cx3 = xyz[6]cy3 = xyz[7]cz3 = xyz[8]dx1 = xyz[9]dy1 = xyz[10]dz1 = xyz[11]ex2 = xyz[12]ey2 = xyz[13]ez2 = xyz[14]fx3 = xyz[15]fy3 = xyz[16]fz3 = xyz[17]#面一法线nx = ((cz3-az1)/(cy3-ay1)-(bz2-az1)/(by2-ay1))/((bx2-ax1)/(by2-ay1)-(cx3-ax1)/(cy3-ay1))ny = ((cz3-az1)/(cx3-ax1)-(bz2-az1)/(bx2-ax1))/((by2-ay1)/(bx2-ax1)-(cy3-ay1)/(cx3-ax1))nz = 1#面二法线mx = ((fz3-dz1)/(fy3-dy1)-(ez2-dz1)/(ey2-dy1))/((ex2-dx1)/(ey2-dy1)-(fx3-dx1)/(fy3-dy1))my = ((fz3-dz1)/(fx3-dx1)-(ez2-dz1)/(ex2-dx1))/((ey2-dy1)/(ex2-dx1)-(fy3-dy1)/(fx3-dx1))mz = 1cosAngle = (nx*mx+ny*my+nz*mz)/((math.sqrt(nx**2+ny**2+nz**2))*(math.sqrt(mx**2+my**2+mz**2)));print('cos = ', cosAngle, '角度是：', 180/math.pi*math.acos(cosAngle), '度');#求二面角
def tmp():V = [2, 5, 2]A = [5, 0, 1]B = [0, 0, 0]C = [1, 1, 5]points = V+ A + B+ C+A+B;#print(len(points));print(points);dihedral(points);</span>

再求一下VBC与ABC的，或是VAB与VBC的

<span style="font-size:18px;">>>>
[2, 5, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 0, 1, 0, 0, 0]
cos =  -0.2558139534883721 角度是： 104.82182106205012 度
>>> ================================ RESTART ================================
>>>
[2, 5, 2, 5, 0, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 0, 1, 0, 0, 0]
cos =  -0.19218663979154185 角度是： 101.08042157684446 度</span>

怎么都会是100多度呢，看着不像啊，但小伟也说不准是对是错。

先放着吧。

<span style="font-size:18px;">  if (1) {  var r = 20;            config.setSector(1,1,1,1);              config.graphPaper2D(0, 0, r);            config.axis2D(0, 0,190);              //坐标轴设定        var scaleX = 4*r, scaleY = 4*r;          var spaceX = 2, spaceY = 2;           var xS = -10, xE = 10;          var yS = -10, yE = 10;          config.axisSpacing(xS, xE, spaceX, scaleX, 'X');            config.axisSpacing(yS, yE, spaceY, scaleY, 'Y');         var array = [[2, 5, 2], [5, 0, 1], [0, 0, 0], [1, 1, 5]];//array = shape.xyzSort(array);  var size = array.length;    var array2D = [];  for (var i = 0; i < size; i++) {  array2D.push(shape.point3D(array[i][0], array[i][1], array[i][2]));  }  //去除重复点    var pointArray = removeDuplicatedPoint(array2D);    //无重复的点的数量    var points = pointArray.length;    //得到距离阵列    //格式为[[点1序号，点2序号, 距离值], ...]    var distanceArray = distanceSort(pointArray);    //边的数量    var edges = distanceArray.length;    //存放需要连通的边    var linkedArray = [];    //连通的边的数量    var links = 0;    //每个顶点相关的边的集合    var edgeOfVertex = [];    for (var i = 0; i < points; i++) {    //获得顶点相关的边的集合    edgeOfVertex = [];    for (var j = 0; j < edges; j++) {    if (distanceArray[j][0] == i ||    distanceArray[j][1] == i) {    edgeOfVertex.push(distanceArray[j]);    }    }    //根据起始点寻找最短长度的两条边    edgeOfVertex.sort(function(a, b) {    return a[2] - b[2];    });    var choice = 4;    if (edgeOfVertex.length > choice) {    edgeOfVertex = edgeOfVertex.slice(0, choice);    }    linkedArray = linkedArray.concat(edgeOfVertex);    }    //document.write(linkedArray.join(' , ')+'<br/>');    linkedArray = removeDuplicatedPoint(linkedArray);    links = linkedArray.length;    //document.write(linkedArray.join(' , ')+'<br/>');        var startPoint, endPoint, x1, y1, x2, y2;    //比例缩放    var scale = 40;    for (var i = 0; i < links; i++) {    startPoint = linkedArray[i][0];    endPoint = linkedArray[i][1];    x1 = pointArray[startPoint][0];    y1 = pointArray[startPoint][1];    x2 = pointArray[endPoint][0];    y2 = pointArray[endPoint][1];    shape.vectorDraw([[x1,y1], [x2, y2]], 'red', scale);    }    shape.pointDraw(pointArray, 'blue', scale, 1, 'VABC');  plot.setFillStyle('blue');    plot.fillText('向量图', -270, -170, 300);    }</span>

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。

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