树状数组

一个正整数 x 的二进制表示为 $a_{k-1}a_{k-2}...a_2a_1a_0$ ，其中等于1的位是 $\begin{Bmatrix} a_{i1},a_{i2},a_{i3}...a_{im} \end{Bmatrix}$

则 x 可以被二进制表示为 $x=2^{i1}+2^{i2}+..+2^{im}$

不妨设 $i1>i2>...im$ ，进一步的，区间[1, x] 可以分成 O(logx) 个小区间

这些小区间的共同特点是：若区间结尾为R，则区间长度就是等于R的“二进制分解”下最小的2的次幂，即 lowbit(R).

例如： $x=7=2^2+2^1+2^0$ ，区间 [1, 7] 可以分成 [1, 4] [5, 6] [7, 7]

长度分别是 lowbit(4) = 4, lowbit(6) = 2, lowbit(7) = 1

〔manim | 算法 | 数据结构〕完全理解并深入应用树状数组 | 支持多种动态维护区间操作_哔哩哔哩_bilibili

树状数组(Binary Indexed Tree)是一种基于上述思想的数据结构，其基本用途就是维护序列的前缀和。对于给定的序列 a ,我们建立一个数组 c, 其中 c[x] 保存 a 的区间

[x - lowbit(x) + 1, x] 中所有数的和， $\sum_{i=x-lowbit(x)+1)}^{x} a[i]$

黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有

C[1] = A[1];

C[2] = A[1] + A[2];

C[3] = A[3];

C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];

C[5] = A[5];

C[6] = A[5] + A[6];

C[7] = A[7];

C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

可以发现，这颗树是有规律的

C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i]; //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度

例如i = 8(1000)时候，k = 3，可自行验证。

这个怎么实现求和呢，比如我们要找前7项和，那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];

而根据上面的式子，容易得出

$sumi = c[i] + c[i - 2^{k1}] + c[(i-2^{k1}) - 2^{k2}]+...$

其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

树状数组（BIT）—— 一篇就够了 - Last_Whisper - 博客园

树状数组详解 - Xenny - 博客园

AcWing 241. 楼兰图腾

输入样例：
5
1 5 3 2 4
输出样例：
3 4

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 200010;typedef long long LL;int n;
int a[N];
int tr[N];
int greaterr[N], lower[N];//返回非负整数x在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值
int lowbit(int x)
{return x & -x;
}//将序列中第x个数加上k。
void add(int x, int c)
{for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}//查询序列前x个数的和
int sum(int x)
{int res = 0;for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];return res;
}int main()
{cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d",&a[i]);//从左向右，依次统计每个位置左边比第i个数y小的数的个数、以及大的数的个数for(int i = 1; i <= n; i ++ ){int y = a[i];//在前面已加入树状数组的所有数中统计在区间[1, y - 1]的数字的出现次数greaterr[i] = sum(n) - sum(y);//在前面已加入树状数组的所有数中统计在区间[y + 1, n]的数字的出现次数lower[i] = sum(y - 1);//将y加入树状数组，即数字y出现1次add(y,1);}//清空树状数组，从右往左统计每个位置右边比第i个数y小的数的个数、以及大的数的个数memset(tr, 0, sizeof tr);LL res1 = 0, res2 = 0;for(int i = n; i; i --){int y = a[i];res1 += greaterr[i] * (LL)(sum(n) - sum(y));res2 += lower[i] * (LL)(sum(y - 1));//将y加入树状数组，即数字y出现1次add(y,1);}cout << res1 << " " << res2;return 0;
}

AcWing 242. 一个简单的整数问题

输入样例：
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4
Q 1
Q 2
C 1 6 3
Q 2
输出样例：
4
1
2
5

树状数组 + 差分

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>using namespace std;
typedef long long LL;const int N = 100010;int n, m;
int a[N];
LL tr[N];int lowbit(int x)
{return x & -x;
}void add(int x, int t)
{for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += t;
}LL sum(int x)
{LL res = 0;for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];return res;
}int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);for(int i = 1; i <= n; i ++ ) add(i, a[i] - a[i - 1]);while(m -- ){char op[2];int l, r, d;scanf("%s%d", op, &l);if(*op == 'C'){scanf("%d%d", &r, &d);add(l, d), add(r + 1, -d);}else{printf("%lld\n", sum(l));}}return 0;
}

AcWing 243. 一个简单的整数问题2

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

输出样例：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 100010;int n,m;
int a[N];
LL tr1[N]; //维护差分数组b[i]的前缀和
LL tr2[N]; //维护b[i] * i 的前缀和int lowbit(int x)
{return x & -x;
}void add(LL tr[], int x, LL c)
{for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}LL sum(LL tr[], int x)
{LL res = 0;for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];return res;
}LL prefix_sum(int x)
{return sum(tr1, x) * (x + 1) - sum(tr2, x);
}int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d",&a[i]);for(int i = 1; i <= n; i ++ ){int b = a[i] - a[i - 1];add(tr1, i, b);add(tr2, i, (LL)i * b);}while(m --){char op[2];int l,r,d;scanf("%s%d%d", op, &l, &r);if(*op == 'Q'){printf("%lld\n",prefix_sum(r) - prefix_sum(l - 1));}else{scanf("%d",&d);add(tr1, l, d), add(tr1, r + 1, -d);add(tr2, l, l * d), add(tr2, r + 1, (r + 1) * -d);}}return 0;
}

AcWing 244. 谜一样的牛

输入样例：
5
1
2
1
0
输出样例：
2
4
5
3
1

// 找到一个最小的x是sum(x) = k
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010;int n;
int h[N];
int ans[N];
int tr[N];int lowbit(int x)
{return x & -x;
}void add(int x, int c)
{for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}int sum(int x)
{int res = 0;for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];return res;
}int main()
{cin >> n;for(int i = 2; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);for(int i = 1; i <= n; i ++ ) tr[i] = lowbit(i);for(int i = n; i; i -- ){int k = h[i] + 1;int l = 1, r = n;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(sum(mid) >= k) r = mid;else l = mid + 1;}ans[i] = r;add(r, -1);}for(int i = 1; i <= n; i ++) printf("%d\n", ans[i]);return 0;
}

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树状数组（单点+区间的所有操作）
转载:https://blog.csdn.net/I_believe_CWJ/article/details/80374326 更简洁方便的数据结构--树状数组(基于线段树的实现) 1.单点更新+区间 ...

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