算法题：打气球的最大分数

最近在看左程云的《程序员代码面试指南》，感觉不错，题都分了类，很方便有目的的刷题，书里的代码都是java实现的，刚好最近在学习python，就用python去练习一下。

1. 问题描述

给定一个数组arr，代表一排有分数的气球。 每打爆一个气球都能获得分数，假设打爆气球的分数为X，获得分数的规则如下:

1)如果被打爆气球的左边有没被打爆的气球，找到离被打爆气球最近的气球，假设分数为L:如果被打爆气球的右边有没被打爆的气球，找到离被打爆气球最近的气球，假设分数为R.获得分数为LXR

2)如果被打爆的气球的左边有没被打爆的气球，找到离被打爆气球最近的气球，假设分数为L:如果被打爆气球的右边所有气球都已经被打爆，获得分数为LX。

3)如果被打爆气球的左边所有的气球都已经被打爆:如果被打爆气球的右边有没被打爆的气球，找到离被打爆气球最近的气球。获得分数为XR.

4)如果被打爆气球的左边和右边所有的气球都已经被打爆。获得分数为X。

目标是打爆所有气球，获得每次打爆的分数。通过选择打爆气球的顺序，可以得到不同的总分，请返回能获得的最大分数

2.解决方法

1)暴力递归：假设arr[L-1]和arr[R+1]都没爆，要打爆arr[L]到arr[R]的气球，假设arr为[L~R]，可以设置一个help数组，添加arr[L-1]和arr[R+1]并将值值设为1。如此便对于相乘便无影响。对于L和R位置，对于普通位置i分别递归地求解。

2)动态规划：以L和R为可变参数作m表，将表画出可以发现，m[i][j]代表i~j上打爆所有气球的最大分数,对于每个位置，其值只依赖于其左侧和正下方的值。则从下往上的完成m表，可以得到结果。

3.代码实现

暴力递归

# 暴力递归

def process(arr, L, R):

if L == R:

return arr[L-1] * arr[L] * arr[R+1]

max_score = max(arr[L-1] * arr[L] * arr[R+1] + process(arr, L+1, R), arr[L-1] * arr[R] * arr[R+1] + process(arr, L, R-1))

for i in range(L+1, R):

max_score = max(max_score, arr[L-1] * arr[i] * arr[R+1] + process(arr, L, i-1) + process(arr, i+1, R))

return max_score

动态规划

# 动态规划

def score(arr):

m = [[0 for i in range(len(arr))] for j in range(len(arr))]

for i in range(1, len(arr)-1):

m[i][i] = arr[i-1] * arr[i] * arr[i+1]

# 求解m[i][j]，m[i][j]代表i~j上打爆所有气球的最大分数

L = len(arr) - 2

while L >= 1:

R = L + 1

while R <= len(arr) - 2:

# 最后打爆arr[L]的情况

finalL = arr[L-1] * arr[L] * arr[R+1] + m[L+1][R]

# 最后打爆arr[R]的情况

finalR = arr[R+1] * arr[R] * arr[L-1] + m[L][R-1]

# 先比较一下arr[L]和arr[R]的情况

m[L][R] = max(finalL, finalR)

# 对一般情况进行分析

for i in range(L+1, R):

m[L][R] = max(m[L][R], arr[L-1] * arr[i] * arr[R+1] + m[L][i-1] + m[i+1][R])

R += 1

L -= 1

print("m表:")

for item in m:

for i in item:

print(i, end = '\t')

print()

return m[1][len(arr)-2]

if __name__ == "__main__":

help_arr = [1, 4, 2, 3, 5, 1, 6, 1]

print("(递归)最大分数为:{0}".format(process(help_arr, 1, 6)))

print("(动态规划)最大分数为:{0}".format(score(help_arr)))

结果：

(递归)最大分数为:264

m表：

0 0 0 0 0 0 0 0

0 8 36 104 109 258 264 0

0 0 24 84 104 234 258 0

0 0 0 30 40 156 168 0

0 0 0 0 15 120 138 0

0 0 0 0 0 30 60 0

0 0 0 0 0 0 6 0

0 0 0 0 0 0 0 0

(动态规划)最大分数为:264