R语言手动计算主成分分析（PCA)及其在R函数的实现

了解PCA的原理，但总是无法用R语言实现，这次算是有个教程。

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主成分分析（principal component analysis,PCA）是一种降维技术，把多个变量化为能够反映原始变量大部分信息的少数几个主成分。

设X有p个变量，为n*p阶矩阵，即n个样本的p维向量。首先对X的p个变量寻找正规化线性组合，使它的方差达到最大，这个新的变量称为第一主成分，抽取第一主成分后，第二主成分的抽取方法与第一主成分一样，依次类推，直到各主成分累积方差达到总方差的一定比例。
       主成分分析的计算步骤：
      假设样本观测数据矩阵为：
      X=(x1,x2,x3,...xp)，xi为n个样本在第i个属性上的观测值，是一个列向量
     1.对原始数据标准化处理（0均值化处理）
     2.计算样本相关系数矩阵
     3.计算协方差矩阵的特征值和特征向量
     4、选择重要的主成分，并写出主成分表达式

5.计算主成分得分
6.根据主成分得分的数据，做进一步的统计分析。

主成分分析可以得到p个主成分，但是，由于各个主成分的方差是递减的，包含的信息量也是递减的，所以实际分析时，一般不是选取p个主成分，而是根据各个主成分累计贡献率的大小选取前k个主成分，这里贡献率就是指某个主成分的方差占全部方差的比重，实际也就是某个特征值占全部特征值总和的比重。贡献率越大，说明该主成分所包含的原始变量的信息越强。主成分个数k的选取，主要根据主成分的累积贡献率来决定，即一般要求累计贡献率达到85%以上，这样才能保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息。
另外，在实际应用中，选择了重要的主成分后，还要注意主成分实际含义解释。主成分分析中一个很关键的问题是如何给主成分赋予新的意义，给出合理的解释。一般而言，这个解释是根据主成分表达式的系数结合定性分析来进行的。主成分是原来变量的线性组合，在这个线性组合中个变量的系数有大有小，有正有负，有的大小相当，因而不能简单地认为这个主成分是某个原变量的属性的作用，线性组合中各变量系数的绝对值大者表明该主成分主要综合了绝对值大的变量，有几个变量系数大小相当时，应认为这一主成分是这几个变量的总和，这几个变量综合在一起应赋予怎样的实际意义，这要结合具体实际问题和专业，给出恰当的解释，进而才能达到深刻分析的目的。

在R里手工统计过程如下：
> #数据集
> y=USArrests
> #相关矩阵
> c=cor(y)
> #特征值
> e=eigen(c)
> e
$values #特征值
[1] 2.4802416 0.9897652 0.3565632 0.1734301
$vectors 特征向量，也就是主成分的表达式
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.5358995 0.4181809 -0.3412327 0.64922780
[2,] -0.5831836 0.1879856 -0.2681484 -0.74340748
[3,] -0.2781909 -0.8728062 -0.3780158 0.13387773
[4,] -0.5434321 -0.1673186 0.8177779 0.08902432
> # 计算标准化的主成分得分
> scale( as.matrix(y))%*%e$vector
[,1] [,2] [,3] [,4]
Alabama -0.97566045 1.12200121 -0.43980366 0.154696581
Alaska -1.93053788 1.06242692 2.01950027 -0.434175454
Arizona -1.74544285 -0.73845954 0.05423025 -0.826264240
Arkansas 0.13999894 1.10854226 0.11342217 -0.180973554
.....
West Virginia 2.08739306 1.41052627 0.10372163 0.130583080
Wisconsin 2.05881199 -0.60512507 -0.13746933 0.182253407
Wyoming 0.62310061 0.31778662 -0.23824049 -0.164976866

R中下面两个函数可以用做主成分分析
princomp(x, cor = FALSE, scores = TRUE, covmat = NULL,
subset = rep(TRUE, nrow(as.matrix(x))), ...)
cor =TRUE 是使用相关矩阵求主成分，否则使用协方差矩阵。
prcomp(x, retx = TRUE, center = TRUE, scale. = FALSE,
tol = NULL, ...)
scale =TRUE 即使用相关矩阵求主成分夬否则使用协方差矩阵
求主成分。
> # prcomp() 的用法
> p=prcomp(USArrests, scale=T)
> p
Standard deviations:
[1] 1.5748783 0.9948694 0.5971291 0.4164494
Rotation:
PC1 PC2 PC3 PC4
Murder -0.5358995 0.4181809 -0.3412327 0.64922780
Assault -0.5831836 0.1879856 -0.2681484 -0.74340748
UrbanPop -0.2781909 -0.8728062 -0.3780158 0.13387773
Rape -0.5434321 -0.1673186 0.8177779 0.08902432
> summary(p)
Importance of components:
PC1 PC2 PC3 PC4
Standard deviation 1.5749 0.9949 0.59713 0.41645
Proportion of Variance 0.6201 0.2474 0.08914 0.04336
Cumulative Proportion 0.6201 0.8675 0.95664 1.00000
#计算标准化的主成分得分
> predict(p)
结果和手工统计的一样。