最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现（错误地方已经修改底层补充自己写的java实现）

目录(?)

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概念
原理
1. 运行前提
2. 代码
3. 运行效果

概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

原理

[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]

给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。

常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小

2.使偏差绝对值最大的最小

3.使偏差平方和最小

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

1. 设拟合多项式为：

2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：

.......

4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

.......

5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

7. 也就是说X*A=Y，那么EA = X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

实现

运行前提:

Python运行环境与编辑环境；
Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。

代码:

[python] view plaincopy

# coding=utf-8
'''''
作者:Jairus Chan
程序:多项式曲线拟合算法
'''
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy
import random
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
#阶数为9阶
order=9
#生成曲线上的各个点
x = numpy.arange(-1,1,0.02)
y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')
#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
#生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去
i=0
xa=[]
ya=[]
for xx in x:
yy=y[i]
d=float(random.randint(60,140))/100
#ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')
i+=1
xa.append(xx*d)
ya.append(yy*d)
'''''for i in range(0,5):
xx=float(random.randint(-100,100))/100
yy=float(random.randint(-60,60))/100
xa.append(xx)
ya.append(yy)'''
ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')
#进行曲线拟合
matA=[]
for i in range(0,order+1):
matA1=[]
for j in range(0,order+1):
tx=0.0
for k in range(0,len(xa)):
dx=1.0
for l in range(0,j+i):
dx=dx*xa[k]
tx+=dx
matA1.append(tx)
matA.append(matA1)
#print(len(xa))
#print(matA[0][0])
matA=numpy.array(matA)
matB=[]
for i in range(0,order+1):
ty=0.0
for k in range(0,len(xa)):
dy=1.0
for l in range(0,i):
dy=dy*xa[k]
ty+=ya[k]*dy
matB.append(ty)
matB=numpy.array(matB)
matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)
#画出拟合后的曲线
#print(matAA)
xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
yya=[]
for i in range(0,len(xxa)):
yy=0.0
for j in range(0,order+1):
dy=1.0
for k in range(0,j):
dy*=xxa[i]
dy*=matAA[j]
yy+=dy
yya.append(yy)
ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')
ax.legend()
plt.show()

运行效果:

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----------------------------------------------------------java实现，基于Apache数学工具包-------------------------

也可使用Apache开源库commons math，提供的功能更强大，

http://commons.apache.org/proper/commons-math/userguide/fitting.html

package com.fjsh.algorithm.leastSquareMethod.deal;import org.apache.commons.math3.fitting.PolynomialCurveFitter;
import org.apache.commons.math3.fitting.WeightedObservedPoints;public class LeastSquareMethodFromApache {private static void testLeastSquareMethodFromApache() {  final WeightedObservedPoints obs = new WeightedObservedPoints();  obs.add(-3, 4);  obs.add(-2, 2);
//        obs.add(-1, 3);
//        obs.add(0, 0);
//        obs.add(1, -1);
//        obs.add(2, -2);
//        obs.add(3, -5);  // Instantiate a third-degree polynomial fitter.  final PolynomialCurveFitter fitter = PolynomialCurveFitter.create(1);  // Retrieve fitted parameters (coefficients of the polynomial function).  final double[] coeff = fitter.fit(obs.toList());  for (double c : coeff) {  System.out.println(c);  }  }  /*** 例如当参数是PolynomialCurveFitter.create(1);* 点(-3, 4) (-2, 2) 此时拟合函数参数为-2，-2，公式为y=-2-2x;验证符合* @param args*/public static void main(String[] args) {testLeastSquareMethodFromApache();}
}