f(t) = t的傅里叶系数
计算机网络课程讲到物理层,布置作业的第一题是求f(t)=t (0≤t≤1)的傅里叶系数。
我们知道任何一个周期函数都可以被傅里叶级数逼近。如果是实值函数,则可以用正弦分量,余弦分量,直流分量来近似。公式如下:$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx+b_n sinnx)$$
利用正余弦函数的正交性反变换可得到f(x)的系数。本题中认为函数周期是1,进行延拓可以看成是无数个f(t)沿着x轴平移。
简单计算得$a_0=1$, $a_n=0$, $b_n=-\frac{1}{\pi n}$ 至此题目结束。
但是我想练习一下最近自己刚刚接触到的numpy和matplotlib,于是动手写了一个python小程序想看看拟合的效果是什么样的。效果图和代码如下。
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0, 1, 100) y_ = np.zeros_like(x) y = x y_ = y_ + 0.5 for n in range(1, 11): y_ = y_ - 1/np.pi/n * np.sin(2*np.pi*x*n) plt.plot(x, y, label='y=x') plt.plot(x, y_, label='approximation') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title("CFS") plt.legend() plt.show()
代码一直拟合到十阶分量。可看到效果还是不错的,增加x采样点可以增加图像平滑
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