系列文章目录

第一章深入浅出通信原理之卷积

第二章深入浅出通信原理之傅里叶变换

第三章深入浅出通信原理之复指数信号

文章目录

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复指数信号
一、复指数信号的物理意义
二、余弦信号和正弦信号的三维频谱图
- 余弦信号
- 正弦信号
三.周期信号的三维频谱图
四.复数乘法的几何意义
五.利用李萨育图形认识复信号
六.实信号和复信号的波形对比
总结

复指数信号

一、复指数信号的物理意义

回想一下之前讲过的用复指数信号表示f(t)=cos⁡wtf(t)=\cos wtf(t)=coswt和f(t)=sin⁡wtf(t)=\sin wtf(t)=sinwt，
f(t)=cos⁡wt=12ejwt+12e−jwtf(t)=\cos wt=\frac{1}{2}e^{jwt}+\frac{1}{2}e^{-jwt}f(t)=coswt=21ejwt+21e−jwt
f(t)=sin⁡wt=12ejwt−12e−jwtf(t)=\sin wt=\frac{1}{2}e^{jwt}-\frac{1}{2}e^{-jwt}f(t)=sinwt=21ejwt−21e−jwt
我们会发现会出现负的频率(-w),一般来说，频率都是正的，如我们经常说市电的频率是50Hz而不说-50Hz，应该如何理解ejwte^{jwt}ejwt的物理意义呢？
先看看ejwte^{jwt}ejwt的物理意义：ejwt=cos⁡wt+jsin⁡wte^{jwt}=\cos{wt}+j\sin{wt}ejwt=coswt+jsinwt表示一个初始相位为零的单位旋转向量，该向量的模为1，在实轴上的投影为cos⁡wt\cos{wt}coswt，在虚轴上的投影为sin⁡wt\sin{wt}sinwt。

这一点在很多书中都会提到，但是讲傅里叶变换时很少有书将复指数的物理意义联系起来。
加上时间轴t，我们来看旋转向量的三维图：

注：x轴为实轴，y轴为虚轴。

旋转向量在x-y面的投影：

旋转向量在x-t平面的投影：

旋转向量在y-t平面的投影：

ejwte^{jwt}ejwt中的w为正值时，向量逆时针旋转；w为负值时，向量顺时针旋转。这就解释了负频率的物理意义：正频率代表向量逆时针旋转，负频率代表向量顺时针旋转。

二、余弦信号和正弦信号的三维频谱图

前面我们了解了复指数的物理意义，接下来我们来以余弦信号为例，具体地分析，从而加深对复指数信号物理意义的理解。

余弦信号

f(t)=cos⁡w0t=12ejw0t+12e−jw0tf(t)=\cos{w_0t}=\frac{1}{2}e^{jw_0t}+\frac{1}{2}e^{-jw_0t}f(t)=cosw0t=21ejw0t+21e−jw0t
频谱图：

结合复指数的物理意义，我们可以将幅度-频谱图和相位频谱图画在同一张三维的频谱图中，这样我们就可以把傅里叶系数看得清楚些：x轴为实数轴，y轴为虚数轴，z轴为频率轴，所有初始位置的向量构成了信号的复傅里叶系数。
f(t)=cos⁡w0tf(t)=\cos{w_0t}f(t)=cosw0t的三维频谱图：

t=0时刻，两个向量的位置如上图所示，这两个向量的位置就是f(t)=cos⁡w0tf(t)=\cos{w_0t}f(t)=cosw0t的复傅里叶系数，之后w=w0w=w_0w=w0处的向量以w0w_0w0的角速度逆时针旋转，w=−w0w=-w_0w=−w0处的向量以w0w_0w0的角速度顺时针旋转，两向量合成的信号就是余弦信号，如图所示：

注意t=0时刻，两向量的初始位置位于实轴上，也就是说f(t)=cos⁡w0tf(t)=\cos{w_0t}f(t)=cosw0t的复傅里叶系数是实数。

正弦信号

f(t)=sin⁡w0tf(t)=\sin{w_0t}f(t)=sinw0t的三维频谱图：
f(t)=sin⁡w0t=j2ejw0t−j2e−jw0tf(t)=\sin{w_0t}=\frac{j}{2}e^{jw_0t}-\frac{j}{2}e^{-jw_0t}f(t)=sinw0t=2jejw0t−2je−jw0t

t=0时刻，两向量的位置如上图所示，这两个向量就是f(t)=sin⁡w0tf(t)=\sin{w_0t}f(t)=sinw0t的复傅里叶系数，后w=w0w=w_0w=w0处的向量以w0w_0w0的角速度逆时针旋转，w=−w0w=-w_0w=−w0处的向量以w0w_0w0的角速度顺时针旋转，两向量合成的信号就是正弦信号，如图所示：

注意：t=0时刻，两向量的初始位置不在实轴上，也就是说f(t)=sin⁡w0tf(t)=\sin{w_0t}f(t)=sinw0t的复傅里叶系数是虚数。

三.周期信号的三维频谱图

前面我们以f(t)=cos⁡wtf(t)=\cos{wt}f(t)=coswt和f(t)=sin⁡wtf(t)=\sin{wt}f(t)=sinwt为例，解释了复傅里叶分解的物理意义，接下来我们看一下一般的周期信号复傅里叶分解的物理意义。
复指数形式的傅里叶系数展开式：
f(t)=∑k=−∞∞ckejkw0tf(t)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}{}c_ke^{jkw_0t}f(t)=∑k=−∞∞ckejkw0t
可以将f(t)理解为一系列旋转向量的合成信号，初始位置的各旋转向量就是复傅里叶系数ckc_kck。

蓝色向量就是t=0时刻的旋转向量，即f(t)的复傅里叶系数。
注意：上面三维频谱图对应的f(t)是个实信号,其三维频谱图中正频率部分的向量和负频率部分的向量共轭对称。

注意：
1、由于初始相位关于实轴对称，旋转角速度相同，旋转方向相反，合并后的旋转向量只在实轴上有分量，在虚轴上没有分量。得到这样的结论是因为：我们分析的信号本身是实信号。
2、正负频率对应的复傅立叶系数合并，是向量相加，不是简单的幅度相加。

四.复数乘法的几何意义

在复指数形式的傅里叶级数展开式中：ckejkwtc_ke^{jkwt}ckejkwt为展开后的基本项，如何理解这些基本的项呢：
ckc_kck为虚数，ejkiwte^{jkiwt}ejkiwt也为虚数，这些基本项就相当于是两个虚数相乘。
下面我们来了解一下虚数相乘的几何意义：
考虑两个一般的复数z1,z2z_1,z_2z1,z2，假定：
z1=r1ejΘ1=r1(cos⁡Θ1+jsin⁡Θ1)z_1=r_1e^{j\Theta_1}=r_1(\cos{\Theta_1}+j\sin{\Theta_1})z1=r1ejΘ1=r1(cosΘ1+jsinΘ1)
z2=r2ejΘ2=r2(cos⁡Θ2+jsin⁡Θ2)z_2=r_2e^{j\Theta_2}=r_2(\cos{\Theta_2}+j\sin{\Theta_2})z2=r2ejΘ2=r2(cosΘ2+jsinΘ2)
则z1z2=r1(cos⁡Θ1+jsin⁡Θ1)⋅r2(cos⁡Θ2+jsin⁡Θ2)=r1r2(cos⁡Θ1+jsin⁡Θ1)(cos⁡Θ2+jsin⁡Θ2)=r1r2[(cos⁡Θ1cos⁡Θ2−sin⁡Θ1sin⁡Θ2)+j(cos⁡Θ1sin⁡Θ2+sin⁡Θ1cos⁡Θ2)]=r1r2[cos⁡(Θ1+Θ2)+jsin⁡(Θ1+Θ2)]=r1r2eΘ1+Θ2z_1z_2=r_1(\cos{\Theta_1}+j\sin{\Theta_1})\cdot r_2(\cos{\Theta_2}+j\sin{\Theta_2})=r_1r_2(\cos{\Theta_1}+j\sin{\Theta_1})(\cos{\Theta_2}+j\sin{\Theta_2})=r_1r_2[(\cos{\Theta_1}\cos{\Theta_2}-\sin{\Theta_1}\sin{\Theta_2)+j(\cos{\Theta_1}\sin{\Theta_2}+\sin{\Theta_1} \cos{\Theta_2} )}]=r_1r_2[\cos{(\Theta_1+\Theta_2)}+j\sin{(\Theta_1+\Theta_2)}]=r_1r_2e^{\Theta_1+\Theta_2}z1z2=r1(cosΘ1+jsinΘ1)⋅r2(cosΘ2+jsinΘ2)=r1r2(cosΘ1+jsinΘ1)(cosΘ2+jsinΘ2)=r1r2[(cosΘ1cosΘ2−sinΘ1sinΘ2)+j(cosΘ1sinΘ2+sinΘ1cosΘ2)]=r1r2[cos(Θ1+Θ2)+jsin(Θ1+Θ2)]=r1r2eΘ1+Θ2
总结:两复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和。
在复平面上，复数对应向量，上面的表述可以转换为:两个向量相乘，积的模等于各向量模的积，积的辐角等于各向量辐角的和。
具体到：ckejkwtc_ke^{jkwt}ckejkwt就是：
ckc_kck是一个一般向量，
ejkiwte^{jkiwt}ejkiwt初始位置位于实轴上，模为1，旋转角速度为kw0kw_0kw0的旋转向量。
两个向量相乘得到的是：以ckc_kck代表的向量为初始位置，模为∣ck∣|c_k|∣ck∣，旋转角速度为kw0kw_0kw0的旋转向量，如下图所示，ckc_kck代表的向量记为f，Θ=kw0t\Theta=kw_0tΘ=kw0t

t=0时刻，ckejkw0tc_ke^{jkw_0t}ckejkw0t就是向量f(黑色)；
t时刻，ckejkw0tc_ke^{jkw_0t}ckejkw0t旋转到红色向量位置。

五.利用李萨育图形认识复信号

通过前面的讲解，使我们对实信号有了一定的认识，那么如何理复信号呢？
我们回忆一下物理中学过的李萨如图：当我们使用互相成谐波频率关系的两个信号分别作为X和Y偏转信号送入示波器时，这两个信号分别在X轴、Y轴方向同时作用于电子束而描绘出稳定的图形，这些稳定的图形就叫“李萨育图形”，如下图所示：

第一个图：x=cos⁡(2πft)x=\cos(2\pi ft)x=cos(2πft),y=sin⁡(2πft)y=\sin(2\pi ft)y=sin(2πft)
电子波束在平面上的运动轨迹：f(t)=cos⁡(2πft)+jsin⁡(2πft)=e2πftf(t)=\cos(2\pi ft)+j\sin(2\pi ft)=e^{2\pi ft}f(t)=cos(2πft)+jsin(2πft)=e2πft
是我们很熟悉的旋转向量，实际上就是一个复信号，不仅在x轴上有分量，在y轴上也有分量。
第一个图：x=cos⁡(2πft)x=\cos(2\pi ft)x=cos(2πft),y=sin⁡(4πft)y=\sin(4\pi ft)y=sin(4πft)
电子波束在平面上的运动轨迹：f(t)=cos⁡(2πft)+jsin⁡(4πft)=e2πftf(t)=\cos(2\pi ft)+j\sin(4\pi ft)=e^{2\pi ft}f(t)=cos(2πft)+jsin(4πft)=e2πft第一个图：x=cos⁡(2πft)x=\cos(2\pi ft)x=cos(2πft),y=sin⁡(6πft)y=\sin(6\pi ft)y=sin(6πft)
电子波束在平面上的运动轨迹：f(t)=cos⁡(2πft)+jsin⁡(6πft)=e2πftf(t)=\cos(2\pi ft)+j\sin(6\pi ft)=e^{2\pi ft}f(t)=cos(2πft)+jsin(6πft)=e2πft第一个图：x=cos⁡(2πft)x=\cos(2\pi ft)x=cos(2πft),y=sin⁡(8πft)y=\sin(8\pi ft)y=sin(8πft)
电子波束在平面上的运动轨迹：f(t)=cos⁡(2πft)+jsin⁡(8πft)=e2πftf(t)=\cos(2\pi ft)+j\sin(8\pi ft)=e^{2\pi ft}f(t)=cos(2πft)+jsin(8πft)=e2πft第一个图：x=cos⁡(2πft)x=\cos(2\pi ft)x=cos(2πft),y=sin⁡(10πft)y=\sin(10\pi ft)y=sin(10πft)
电子波束在平面上的运动轨迹：f(t)=cos⁡(2πft)+jsin⁡(10πft)=e2πftf(t)=\cos(2\pi ft)+j\sin(10\pi ft)=e^{2\pi ft}f(t)=cos(2πft)+jsin(10πft)=e2πft
附：画出李萨育图形的matlab程序：

for f=1 :5 ;
t=0:0.001:1000;
x= cos (2*pi*t);
y= sin (2*pi*f*t) ;
subplot(1,5,f) ;plot(x,y) ;
axis equal;
axis off;
end;

六.实信号和复信号的波形对比

在下面两张图中：x轴（实轴）、y轴（虚轴）所在的平面是复平面，t轴（时间轴）垂直于复平面。
实信号f(t)=cos(2πt)的波形图：

复信号f(t)=cos(2πt)+jsin(2πt)的波形图：

对比这两张图，很容易得出：实信号在复平面上投影时只有实轴方向有分量，而复信号在复平面上投影时实轴和虚轴方向都有分量。
Matlab程序：

t=0:0.001:10;
x=cos(2*pi*t);
subplot(2,1,1);plot3(x,t,0*t);
set(gca,'YDir','reverse');
grid on;x=cos(2*pi*t) ;
y=sin(2*pi*t) ;
subplot(2,1,2);plot3(x,t,y);
set(gca,'YDir','reverse');
grid on;

李萨育图形中的第2张图:

t=0:0.001:10;
x=cos(2*pi*t) ;
y=sin(4*pi*t) ;
plot3(x,t,y);
set(gca,'YDir','reverse');
grid on;
<hr style=" border:solid; width:100px; height:1px;" color=#000000 size=1">

总结

首先分析实信号分解成复信号的过程，然后分析补充了一些关于复数的知识，引出复信号，将实信号与复信号进行对比，通过画图直观形象地展示了复信号的概念，为接下来的分析做好准备。

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