1 二分查找的框架

int binarySearch(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0,rigth = ...;while(...){int mid = left +(rigth-left)/2;if(nums[mid] == target){...}else if (nums[mid]<target){left = ...;}else if (nums[mid]>target){rigth = ...;}}return ...
}

使用else if是为了把所有情况写清楚，这样可以清楚的展现所有细节。本文都使用else if，旨在说清楚，可自行简化。

其中…标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先要注意这几个地方。

2 寻找一个数（基本的二分搜索）

这个场景是最简单的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回-1。

int binarySearch(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0;int right = numsSize-1; //注意while(left<=rigth)  //注意{int mid = left +(right-left)/2;if(nums[mid] == target)return mid;else if(nums[mid]<target){left = mid+1;   //注意}else if(nums[mid]>target){right = mid+1;  //注意}}return -1;
}

为什么while的循环条件中是<=，而不是<？
答：因为初始化right的赋值是numsSize-1，即最后一个元素的索引，而不是numsSize，这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间[left,right]，后者相当于左闭右开区间[left,right)，因为索引大小为numsSize是越界的。
我们这个算法中使用的是[left,right]两端都闭的区间，这个区间就是每次进行搜索的区间，那while循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没的找了。

while(left<=right)终止条件是left==right+1，写成区间的形式是[ right+1,right]，这个时候搜索区间为空，直接返回-1.

while(left<right)的终止条件是left==right，写成区间的形式是[right,right]，者时候区间非空，还有一个数nums[right]，如果此时while循环停止了，就漏掉一个数，如果这个时候返回-1就可能出现错误。

为什么left=mid+1，right=mid-1？
本算法的搜索区间两端都是闭的，即[left,right]。那么当我们发现索引mid不是要找的target时，如果确定下一步的搜索区间呢？
当然是去搜索[left,mid+1]或者[mid+1,right]，因为mid已经搜索过了，应该从搜索区间去除。
此算法有什么缺陷？
比如说你有有序数组nums=[1,2,2,2,3]，次算法返回的索引是2，但是如果我想得到target的左侧边界，即索引1，或者想得到target的右侧边界，即索引3，这样的话，次算法是无法处理的。

3 寻找左侧边界的二分搜索

查找左侧边界的数，即在一个有序数组中，找到第一个等于target的下标。比如数组int nums[]={5,7,7,8,8,8,10}，target=8，第一个等于8的下标是3，第一个大于等于8的数组下标也是3。即找到第一个等于target的数等价于 找第一个大于等于targte的数的下标，然后我们判断该下标所对应的数是否是target。

直接看代码：

/* 二分查找左侧边界 */
int lower_bound(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0,right=numsSize-1,ans=numsSize;while(left<=right){int mid = left+(right-left)/2;if(nums[mid]>=target){right = mid-1;ans = mid;}else {left = mid+1;}}return ans;
}
int main(void)
{int nums[]={5,7,7,8,8,8,10};int ret;//int p = high_bound(nums,7,8);//printf("%d \n",p);ret = lower_bound(nums,7,8);printf("%d \n",ret);return 0;
}

输出是3。

当nums[mid]>=target时，说明有大于等于target的数了，我们需要更新ans来记录大于等于targte的数，right需要更新，然后继续往在[left,mid-1]区间找大于等于target的数，如果没有nums[mid]<target，则需要在[mid+1,right]区间找大于等于target的数，left下标所指向的值始终是小于等于target（如果全部数据全部大于target，left将不会变化），所以，当结束时，ans所指向的值是[left,right]区间最后一个大于等于target的值，left下标所指向的值又始终是小于等于target，所以ans所指向的内容是第一个大于等于target的值。

4 寻找右侧边界的二分查找

寻找右侧边界的数，就是找第一个大于target的数，返回其下标减1，int nums[]={5,7,7,8,8,8,10}，最后一个等于8的下标是5，第一个大于8的数是10，其下标是6，减去1是5，找target最后位置等价于找第一个大于target的下标减1，然后判断该位置上的数是否等于target。
具体代码为：

/* 二分查找右侧边界 */
int high_bound(int *nums,int numsSize,int target)
{int left=0,right=numsSize-1,ans=numsSize;while(left<=right){int mid = left+(right-left)/2;if(nums[mid]>target){right = mid-1;ans = mid;}else {left = mid+1;}}return ans;
}
int main(void)
{int nums[]={5,7,7,8,8,8,10};int ret;//int p = high_bound(nums,7,8);//printf("%d \n",p);ret = high_bound(nums,7,8)-1;printf("%d \n",ret);return 0;
}

运行结果是5。
如果nums[mid]>target，有大于target的数了，ans就要去记录，right更新，right=mid-1 ，如果nums[mid]<=target，则left需要更新，left=mid-1，left指示的内容始终是小于等于target的（如果数据全部大于target，left不会变）。只要left<=right，就会一直缩小区间，当运行结束后，ans所指示的内容是最后一个大于target的数。

5 合并

我们添加一个参数，表示找第一个等于target的数，还是找最后一个等于target的数。

int binarySearch(int* nums, int numsSize, int target, bool lower) {int left = 0, right = numsSize - 1, ans = numsSize;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {right = mid - 1;ans = mid;} else {left = mid + 1;}}return ans;
}

当lower为真时，表示找第一个大于等于target的数，当lowe为假时，表示找第一个大于target的数，返回之后，检查和上面代码一样。

leedcode的第34题：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

示例代码：


/*
在一个升序数组中，找第一个等于target的数组，即找第一个大于等于target的数，返回其下标，最后判断
是否等于targettarget。
找最后一个等于target的数组，即找第一个大于target的数，返回其下标减1，最后判断该下标对应的数是否等于target。
*/
int binarySearch(int *nums,int numsSize,int target,bool lower)
{int left=0,right=numsSize-1,ans=numsSize;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>target || (lower && nums[mid]>=target)){right=mid-1;ans = mid;}else{left=mid+1;}}return ans;
}
/*** Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().*/
int* searchRange(int* nums, int numsSize, int target, int* returnSize){int leftIdx = binarySearch(nums,numsSize,target,true);int rightIdx = binarySearch(nums,numsSize,target,false)-1;int *ret = (int *)malloc(sizeof(int)*2);*returnSize=2;if(leftIdx<=rightIdx && nums[leftIdx]==target && nums[rightIdx]==target){ret[0]=leftIdx;ret[1]=rightIdx;return ret;}ret[0]=-1;ret[1]=-1;return ret;
}

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