Acwing 216. Rainbow的信号

题意：

给你n个数，在这n个数中，等概率地选取两个数l，r，如果l>r,则交换l,r
把信号中的第 l 个数到第 r 个数取出来，构成一个数列 P。

A 部分对话的密码是数列 P 的 xor 和的数学期望值，xor 和就是数列 P 中各个数异或之后得到的数； xor 和的期望就是对于所有可能选取的 l、r，所得到的数列的 xor 和的平均数。

B 部分对话的密码是数列 P 的 and 和的期望，定义类似于 xor 和。

C 部分对话的密码是数列 P 的 or 和的期望，定义类似于 xor 和。

题解：

参考题解
按位来计算答案。枚举二进制下的每一位，因为数<10⁹,说明最多30位
对于每一位(这里指的是二进制数位)，枚举1到n每个数，把当前枚举的第k个数当作是范围的右端点，考虑左端点的取值情况来计算概率
设当前枚举的数位是k，当前枚举的是第r个数，当前第r个数的数位的值为v(v只会是0或1)
注意：题目说了当l>r时会交换l和r，所以l和r的取值范围均为n，所以l = r的概率为1/n ^ 2,其他概率为2/n ^ 2.
xor 和的期望就是对于所有可能选取的 l、r，所得到的数列的 xor 和的平均数。也就是所能取到的值乘以取到的概率
当数位的值v为1时
因为有l = r的情况，所有xor，and，or的答案都要加上该数位的值乘以1/n ^2（如果这是第3位，那就要加上4/n ^2），我们设pos=(该数为的值)/n ^2 = (1<<k)/n ^2

对于or，or是有1则1，而当前v正是1(也就是第r位是1)，所以左端点l随便取(当前不能等于r)，所以l的取值概率为(r-1) * pos * 2(别忘乘以2)
对于and，and是全部为1则1，所以我们需要用last[v]表示上一次v出现的位置，last[0]表示上一次0出现的位置，而l的取值范围是[last[0]+1,r-1],所以概率为（r-1-last[0]）* pos * 2

当前数位的值v为0的时候：
and怎么都是0，所以不用考虑
对于or，l的所取的区间中的数位必须出现一个1，last[1]表示上一次1出现的位置，那l区间范围是[1,last[1]],所以概率就是last[1] * pos * 2

xor单独讨论
对于1到n各个数在第k位上的数位值：

我们现在以1为边界将区间分段：

每一段内有且只有一个1(r所在的那一段暂不考虑)，异或0对xor没有影响，而每异或一次1，xor的值就会发生反转，所以我们用c1表示奇数区间包含的值的个数，c2表示偶数区间包含的值的个数
如果r为1，那么l位于偶数区间的话，答案异或为1，也就是l有c1个取值可能。如果r为0，那么l就有c2个取值可能(代码中实现c1和c2的方法很妙)
详细可以看代码diamond

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}return x*f;
}const int maxn=1e5+5;
int n,c1,c2;
int w[maxn],p[maxn],last[2];
double ansxor,ansand,ansor;void solve(int k)
{c1=c2=0;last[0]=last[1]=0;double pos=(double)(1<<k)/n/n;//当前数位的实际值/n方的概率for(int r=1;r<=n;r++){int v=((w[r]>>k)&1);if(v){ansxor+=pos;ansand+=pos;ansor+=pos;}if(v){ansor+=pos*(r-1)*2;ansand+=pos*(r-1-last[0])*2;ansxor+=pos*c1*2;}else {ansor+=pos*last[1]*2;ansxor+=pos*c2*2;}++c1;if(v) swap(c1,c2); //到了新的区间，就开始另一个变量开始计数 last[v]=r;}
}int main()
{n=read();for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();for(int i=0;i<=30;i++) solve(i);printf("%.3lf %.3lf %.3lf",ansxor,ansand,ansor);return 0;
}

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