codeforces G - Almost Increasing Array 动态规划、动态开点线段树

题意

给出一个序列，允许删除一个元素，并将任意元素的值修改为任意整数，问最少修改多少个元素使得序列变成严格单调递增的序列？

题解

这道题目很具有启发性：
不考虑删除元素，原数列各个数值减去他们下标得到一个新的序列，那么新的序列的最长不减序列就是不需要修改的元素个数len，需要修改的元素个数就是n-len即可。

这道题也是这么做的，我们枚举要删除的元素下标为kkk，并且得到以元素k−1" role="presentation" style="position: relative;">k−1k−1k-1为结尾的最长不减序列的长度len1len1len_1，以及得到以元素iii为开始的最长不减序列的长度len2" role="presentation" style="position: relative;">len2len2len_2（要求a[i]+1>=a[k−1]a[i]+1>=a[k−1]a[i]+1 >= a[k-1]，因为这样才能将两部分拼接起来），那么这就是删除元素kkk时候得到的最多不需修改的元素的数量，枚举k" role="presentation" style="position: relative;">kkk取最大值即可。

怎样维护以a[i]a[i]a[i]结尾的最长不减序列的长度和以a[i]a[i]a[i]开头的最长不减序列的长度呢？

思路就是dp +（可持久化/动态开点）线段树。
dp[a[i]]dp[a[i]]dp[a[i]]表示以a[i]结尾的不减序列的最长长度，那么dp[a[i]]=max(dp[1],dp[2],...,dp[a[i]])+1dp[a[i]]=max(dp[1],dp[2],...,dp[a[i]])+1dp[a[i]] = max(dp[1],dp[2],...,dp[a[i]])+1
线段树的动态开点功能使得不需要离散化。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 400008;
struct segtree{int root[MAXN];int val[MAXN * 20];int lson[MAXN * 20];int rson[MAXN * 20];int index;int n;void init(int N){n = N;index = 0;memset(val,0,sizeof(root));memset(val,0,sizeof(val));memset(lson,0,sizeof(lson));memset(rson,0,sizeof(rson));}void insert(int num,int& rt,int l,int r,int v){int nrt = ++index;lson[nrt] = lson[rt];rson[nrt] = rson[rt];val[nrt] = val[rt];rt = nrt;if(l == r) {val[rt] = v;return ;}int mid = (l + r) / 2;if(num <= mid) insert(num,lson[rt],l,mid,v);else insert(num,rson[rt],mid+1,r,v);val[rt] = max(val[lson[rt]],val[rson[rt]]);}int _query(int rt,int l,int r,int ul,int ur){if(r < ul || l > ur) return 0;if(ul <= l && r <= ur) return val[rt];int mid = (l + r) / 2;int a = _query(lson[rt],l,mid,ul,ur);int b = _query(rson[rt],mid+1,r,ul,ur);return max(a,b);}void putone(int i,int pos,int num){root[i] = root[i-1];insert(pos,root[i],1,n,num);}
}seg,segp;
const int inf = 1e9+MAXN;
int n;
int a[MAXN],dp[MAXN];
int main(){seg.init(inf);segp.init(inf);cin>>n;for(int i = 1;i <= n;++i){scanf("%d",&a[i]);a[i] = a[i]-i+MAXN;}int ans = 0;for(int i = n;i >= 1;--i){int mxlen = seg._query(seg.root[n-i],1,inf,a[i],inf);seg.putone(n-i+1,a[i],mxlen+1);ans = max(ans,mxlen+1);//cout<<i<<':'<<mxlen<<endl;}for(int i = 1;i <= n;++i){int mxlen = segp._query(segp.root[i-1],1,inf,1,a[i]);segp.putone(i,a[i],mxlen+1);ans = max(ans,mxlen+1);//cout<<i<<':'<<mxlen<<endl;}for(int i = 2;i < n;++i){int len1 = segp._query(segp.root[i],1,inf,a[i-1],a[i-1]);int len2 = seg._query(seg.root[n-i],1,inf,a[i-1]-1,inf);ans = max(ans,len1+len2);}cout<<max(0,n-ans-1)<<endl;return 0;
}

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