白白的（baibaide）

有一个长度为 $n$ 的序列 $a_1, a_2, \dots, a_n$，一开始每个位置都是白色。如果一个区间中每个位置都是白色，则称这是一个白白的区间。如果一个白白的区间向左或向右延长后都不是白白的区间了，则称这是一个极长的白白的区间。有 $q$ 次操作，每次操作会修改某个位置的值，或者把某个位置变成黑色。每次操作后，求所有极长的白白的区间中含有的逆序对数的异或和。强制在线。

$n ≤ 150000，q ≤ 20000，0 ≤ a_i ≤ 10^9，1 ≤ x ≤ n，0 ≤ y ≤ 10^9$

$Subtask1(10pts) : n ≤ 10^3, q ≤ 10^3$
$Subtask2(20pts) : 只有 0 操作$
$Subtask3(30pts) : 只有 1 操作$
$Subtask4(40pts) : 没有特殊限制$

Solution

毒题

有种高级的东西叫做启发式分裂，可以应用于只分裂不合并的题目。

每次扫描较小的那一段，复杂度似乎是nlogn的。

那我们考虑每次枚举小的那一段区间的每个数x，然后在大的区间中查找比x大（小）的数的个数，也就是x对于大区间的逆序对贡献。

大区间的答案等于原来区间的答案减去每次查出的答案，小的重新算。

统计小于？主席树就行。修改？树套树。

然而这题没完...

我们算下复杂度:分裂$nlogn$ ，树套树 $nlog^2n$ ，修改 $qlog^2n$

总复杂度 $ nlog^3n + qlog^2n $

n=150000 炸了

我们考虑优化前面的那个^3

按权值为比较大小的关键字建splay

一棵splay维护一段区间，分裂时查询某一段比x大的有几个。

分裂完小的区间暴力重建splay，总共可以有多棵splay

这样前面就是$nlog^2n$了

树套树似乎不用了？然而splay在单点修改时不能维护答案，于是还要。

总复杂度 $ nlog^2n + qlog^2n $

颠覆我对数据结构的认知

  1 #include<cstdio>
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstdlib>
  4 #include<cstring>
  5 #include<algorithm>
  6 #include<cmath>
  7 #include<set>
  8 #define ll long long
  9 #define maxn 150005
 10 #define Max 1000000000
 11 using namespace std;
 12 int n,q,a[maxn],rt[maxn],tot,cnt,root[maxn];
 13 ll Ans,ans[maxn];
 14 struct no{
 15     int ls,rs,v;
 16 }tr[maxn*400];
 17 set<int>dd;
 18 void wh(int k){
 19     tr[k].v=tr[tr[k].ls].v+tr[tr[k].rs].v;
 20 }
 21 void add(int &k,int l,int r,int pl,int v){
 22     if(!k)k=++cnt;
 23     if(l==r){
 24         tr[k].v+=v;
 25         return;
 26     }
 27     int mid=l+r>>1;
 28     if(pl<=mid)add(tr[k].ls,l,mid,pl,v);
 29     else add(tr[k].rs,mid+1,r,pl,v);
 30     wh(k);
 31 }
 32 ll t_ask(int k,int l,int r,int v,int fl){
 33     if(!k)return 0;
 34     ll sl=0,sr=0;
 35     if(l==r){
 36         return tr[k].v;
 37     }
 38     int mid=l+r>>1;
 39     if(fl==1){//>v
 40         if(v<=mid)return tr[tr[k].rs].v+t_ask(tr[k].ls,l,mid,v,fl);
 41         else return t_ask(tr[k].rs,mid+1,r,v,fl);
 42     }
 43     else{
 44         if(v<=mid)return t_ask(tr[k].ls,l,mid,v,fl);
 45         else return tr[tr[k].ls].v+t_ask(tr[k].rs,mid+1,r,v,fl);
 46     }
 47 }
 48 ll ask(int l,int r,int v,int fl){
 49     if(l>r)return 0;
 50     ll sl=0,sr=0;
 51     if(fl)v++;else v--;
 52     if(l-1>0)for(int i=l-1;i;i-=i&-i)sl+=t_ask(root[i],0,Max,v,fl);
 53     for(int i=r;i;i-=i&-i)sr+=t_ask(root[i],0,Max,v,fl);
 54     return sr-sl;
 55 }
 56 ll query(int l,int r,int x){
 57     ll n1=0,n2=0;
 58     n1=ask(l,x-1,a[x],1);n2=ask(x+1,r,a[x],0);
 59     return n1+n2;
 60 }
 61 struct Splay{
 62     int ch[2],f,v,num,sz;
 63 }t[maxn*50];
 64 void upd(int x){
 65     int ls=t[x].ch[0],rs=t[x].ch[1];
 66     t[x].sz=t[ls].sz+t[rs].sz+t[x].num;
 67 }
 68 int get(int x){return t[t[x].f].ch[1]==x;}
 69 void rotate(int x){
 70     int y=t[x].f,z=t[y].f;
 71     int wx=get(x),wy=get(y);
 72     t[z].ch[wy]=x;t[x].f=z;
 73     t[y].ch[wx]=t[x].ch[wx^1];t[t[x].ch[wx^1]].f=y;
 74     t[x].ch[wx^1]=y;t[y].f=x;
 75     upd(y);upd(x);
 76 }
 77 void splay(int x,int g){
 78     while(t[x].f!=g){
 79         int y=t[x].f,z=t[y].f;
 80         if(z!=g)rotate(get(x)==get(y)?y:x);
 81         rotate(x);
 82     }
 83 }
 84 void modify(int &R,int k,int x,int Num){
 85     int fa=0;
 86     while(k&&t[k].v!=x){
 87         fa=k,k=t[k].ch[x>t[k].v];
 88     }
 89     if(k)t[k].num+=Num;
 90     else {
 91         k=++tot;
 92         if(fa)t[fa].ch[x>t[fa].v]=k;
 93         t[k].v=x;t[k].num=t[k].sz=1;t[k].f=fa;
 94     }
 95     splay(k,0);R=k;
 96 }
 97 ll ask_min(int k,int v){
 98     ll sum=0;
 99     while(k){
100         if(t[k].v<v)sum+=t[t[k].ch[0]].sz+t[k].num,k=t[k].ch[1];
101         else if(t[k].v==v){
102             sum+=t[t[k].ch[0]].sz;
103             break;
104         }
105         else k=t[k].ch[0];
106     }
107     return sum;
108 }
109 ll ask_max(int k,int v){//>
110     ll sum=0;
111     while(k){
112         if(t[k].v<v)k=t[k].ch[1];
113         else if(t[k].v==v){
114             sum+=t[t[k].ch[1]].sz;
115             break;
116         }
117         else sum+=t[t[k].ch[1]].sz+t[k].num,k=t[k].ch[0];
118     }
119     return sum;
120 }
121 int main()
122 {
123     cin>>n>>q;dd.insert(1);dd.insert(n+1);
124     for(int i=1;i<=n;i++){
125         scanf("%d",&a[i]);
126         modify(rt[1],rt[1],a[i],1);
127     }
128     for(int i=1;i<=n;i++)
129     for(int j=i;j<=n;j+=j&-j){
130         add(root[j],0,Max,a[i],1);
131     }
132     for(int i=1;i<=n;i++)ans[1]+=query(1,n,i);
133     ans[1]/=2;Ans=ans[1];ll la=0;
134     for(int i=1,op;i<=q;i++){
135         scanf("%d",&op);
136         ll x,y;
137         if(op==0){
138             scanf("%lld%lld",&x,&y);x^=la;y^=la;
139             set<int>::iterator it;
140             it=dd.upper_bound(x);
141             int r=*it-1;it--;int l=*it;
142             Ans^=ans[l];
143             ll num=query(l,r,x);
144             modify(rt[l],rt[l],a[x],-1);
145             ans[l]-=num;
146             for(int j=x;j<=n;j+=j&-j)add(root[j],0,Max,a[x],-1);
147             a[x]=y;
148             modify(rt[l],rt[l],a[x],1);
149             for(int j=x;j<=n;j+=j&-j)add(root[j],0,Max,a[x],1);
150             num=query(l,r,x);
151             ans[l]+=num;Ans^=ans[l];
152             printf("%lld\n",Ans);la=Ans;
153         }
154         else {
155             scanf("%lld",&x);x^=la;
156             set<int>::iterator it;
157             it=dd.upper_bound(x);
158             int r=*it-1;it--;int l=*it;
159             Ans^=ans[l];ll co=0;
160             if(x==l){
161                 co=ask_min(rt[l],a[l]);
162                 modify(rt[l],rt[l],a[l],-1);
163                 ans[l+1]=ans[l]-co;ans[l]=0;
164                 rt[l+1]=rt[l];rt[l]=0;
165                 Ans^=ans[l+1];
166                 dd.insert(l+1);
167             }
168             else if(x==r){
169                 co=ask_max(rt[l],a[r]);
170                 modify(rt[l],rt[l],a[r],-1);
171                 ans[l]-=co;Ans^=ans[l];
172                 dd.insert(r);
173             }
174             else {
175                 if(x-l<r-x){
176                     for(int i=l;i<=x;i++){
177                         co+=ask_min(rt[l],a[i]);
178                         modify(rt[l],rt[l],a[i],-1);
179                     }
180                     ans[x+1]=ans[l]-co;
181                     rt[x+1]=rt[l];rt[l]=0;ans[l]=0;
182                     for(int i=l;i<x;i++){
183                         modify(rt[l],rt[l],a[i],1);
184                         ans[l]+=ask_max(rt[l],a[i]);
185                     }
186                     Ans=(Ans^ans[l]^ans[x+1]);
187                 }
188                 else {
189                     for(int i=r;i>=x;i--){
190                         co+=ask_max(rt[l],a[i]);
191                         modify(rt[l],rt[l],a[i],-1);
192                     }
193                     ans[l]-=co;
194                     for(int i=x+1;i<=r;i++){
195                         modify(rt[x+1],rt[x+1],a[i],1);
196                         ans[x+1]+=ask_max(rt[x+1],a[i]);
197                     }
198                     Ans=(Ans^ans[l]^ans[x+1]);
199                 }
200                 dd.insert(x);dd.insert(x+1);
201             }
202             printf("%lld\n",Ans);la=Ans;
203         }
204     }
205     return 0;
206 }

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