例子;

x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项 Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = -16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats = 0.9282 180.9531 0.0000 即对应于b的置信区间分别为[-33.7017，1.5612]、[0.6047,0.834]; r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000 p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！

function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha)

% 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码

%

% 参数说明

% X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值

% Y：应变量矩阵，同X

% alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据

% beta_hat：回归系数

% Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果

% stats：结构体，具有如下字段

%      stats.fTest=[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显著

%                   fV：F分布值，越大越好，线性回归方程越显著

%                   fH：0或1，0不显著；1显著(好)

%      stats.tTest=[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是否与Y有显著线性关系

%                   tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,表示Xi对Y显著的线性作用

%                   tH：0或1，0不显著；1显著

%                   tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显著的线性作用

%      stats.TUQR=[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数

%                  T：总离差平方和，且满足T=Q+U

%                  U：回归离差平方和

%                  Q：残差平方和

%                  R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好

% 举例说明

% 比如要拟合 y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程线化

% x1=rand(10,1)*10;

% x2=rand(10,1)*10;

% Y=5+8*log(x1)+5.623*exp(x2)+1.2*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据

% X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了

% [beta_hat,Y_hat,stats]=mulregress(X,Y,0.99)

%

% 注意事项

% 有可能会出现这样的情况，总的线性回归方程式显著的(stats.fH=1)，

% 但是所有的回归系数却对Y的线性作用却不显著(stats.tF=0)，产生这种现象的原意是

% 回归变量之间具有较强的线性相关，但这种线性相关不能采用刚才使用的模型描述，

% 所以需要重新选择模型

%

C=inv(X'*X);

Y_mean=mean(Y);

% 最小二乘回归分析

beta_hat=C*X'*Y; % 回归系数β

Y_hat=X*beta_hat; % 回归预测

% 离差和参数计算

Q=(Y-Y_hat)'*(Y-Y_hat); % 残差平方和

U=(Y_hat-Y_mean)'*(Y_hat-Y_mean); % 回归离差平方和

T=(Y-Y_mean)'*(Y-Y_mean); % 总离差平方和，且满足T=Q+U

R=sqrt(U/T); % 复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好

[n,p]=size(X); % p变量个数，n样本个数

% 回归显著性检验

fV=(U/(p-1))/(Q/(n-p)); % 服从F分布，F的值越大越好

fH=fV>finv(alpha,p-1,n-p); % H=1，线性回归方程显著(好)；H=0，回归不显著

% 回归系数的显著性检验

chi2=sqrt(diag(C)*Q/(n-p)); % 服从χ2(n-p)分布

tV=beta_hat./chi2; % 服从T分布，绝对值越大线性关系显著

tInv=tinv(0.5+alpha/2,n-p);

tH=abs(tV)>tInv; % H(i)=1，表示Xi对Y显著的线性作用；H(i)=0，Xi对Y的线性作用不明显

% 回归系数区间估计

tW=[-chi2,chi2]*tInv; % 接受H0，也就是说如果在beta_hat(i)对应区间中，那么Xi与Y线性作用不明显

stats=struct('fTest',[fH,fV],'tTest',[tH,tV,tW],'TUQR',[T,U,Q,R]);