PS：很近之前自己收集的资料

一个正整数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，……

(一)完全平方数的性质　　

通过对这些完全平方数的观察和分析，我们可以获得一些规律性的认识。下面是完全平方数的一些常用性质：

性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。　　性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数(不包括0本身)不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1。

性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质9：平方数的形式具有下列形式之一：

16m，16m+1，16m+4，16m+9。

性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0，1，4，7，9。

性质11： a²b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

性质12：如果质数p能整除a，但p²不能整除a，则a不是完全平方数。

性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n²2， 则k一定不是完全平方数。

性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。

性质16：若质数p整除完全平方数a，则p²|a。

(二)与上述性质相对应的几个结论

1.个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7.形如8n+2， 8n+3， 8n+5， 8n+6，8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8.数字和是2，3，5，6，8的整数一定不是完全平方数。

(三)范例解析
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m²................(1)
x+44=n²................(2)(m，n为自然数)
(2)-(1)可得　n²- m²=89， (n+m)(n-m)=89
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n，(n+1)，(n+2)，(n+3)，其中n为整数。欲证
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)²=[n(n+1)+(2n+1)] ²
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

[例3]：求证：11，111，1111，......，111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。
分析：形如111...1(n个1)的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
111...1(n个1)=(10a+1) ²　或　111...1(n个1)=(10a+9) ²
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明：若111...1(n个1)=(10a+1) ²=100a²+20a+1，则
111...10=100a²+20a， 111...1(n-1个1)=10a²+2a
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若111...1(n个1)=(10a+9) ²，同理。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证：由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

[例4]：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
分析：有奇数个约数为完全平方数，即求从200至1800的自然数中有多少个完全平方数。
解：从200到1800的自然数中，完全平方数有152，162，……，422。共有42―15+1=28个数满足题意。

[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3︱600　∴3︱A
此数有3的因子，故9︱A。但9︱600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。

[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
解：设此数为aabb，则：aabb=a0b*11
此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11︱a + b，而a，b为0，1，2，9，故共有(2，9)， (3，8)， (4，7)，(9，2)等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。

[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
解：设22n+5=N²，其中n，N为自然数，可知N为奇数。
N²-16=11(2n-1)， (N+4)(N-4)=11(2n-1)
11︱N - 4或11︱N + 4
N=(2k-1)*11+4， N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1，2，......)
经试数可知，此自然数为1369， 2601， 3481， 5329， 6561， 9025。

[例8]：有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。
解：由题意可知这个六位数的个位数字应大于或等于6。∵123456=3×83×643不是完全平方数，又因为完全平方数个位只能是0，1，4，5，6，9。∴这个六位数的个位只能是9。∴另一个数的个位只能是3或7，并且另一个数是大于300的三位数。∵数字从左到右越来越大，∴个位数只能是7，∴可能有347，357，367，457，467，经检验，只有3672=134689符合。

[例9]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
解：n头羊的总价为n²元，由题意知n²元中含有奇数个10元，即完全平方数n²的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

[例10]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积。
解：设矩形的边长为x，y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是完全平方数，11为质数　∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11²*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm²。

[例11]：少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
分析：灯泡最终是明或暗与开关被拉的次数的奇偶性有关。最后明亮的灯泡开关应被拉过奇数次。而开关被拉动的次数等于该灯泡编号数的约数的个数，因此约数个数为奇数个的编号，灯泡亮着，即编号为完全平方数的灯泡符合题意。
解：某个灯泡，如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为K的灯泡，亮暗变化的次数等于K的约数的个数，若K的约数的个数是奇数，则K一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。

[例12]：“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
解：设满足题目需求的平方数为χ，则由
452<1993+100<462，
542<1993+999<552，可知
452<1993+100≤χ≤1993+999<552
其中共有462，472，……，542这9个完全平方数。
∴共有9个三位数符合要求。

(四)练习题
1．把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有(      )位数字。

2．46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是        。

3．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是        。

4．把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是        。

5．已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为        。

6．已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字     。

7．如n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，则n是        。

8．从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是        。

9．用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？

10．是否存在自然数a，b使得2ab11*7是完全平方数？

11．一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？

12．小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？

13．小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子(不满100个)，弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个？

14．两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。

15．设p，m，n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p， n>m。求证：2n-1必为完全平方数。

16．设平方数y²是11个相继整数的平方和，求y的最小值。

17．求自然数n，使S_n=9+17+25+……+(8n+1)=4n²+5n为完全平方数。

18．是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5？

19．是否存在两个正整数a，b，使得(a²+2b)与(b²+2a)同为完全平方数？

20．若a，b为整数，求证：[a⁴+b⁴+(a+b)⁴]/2是完全平方数。

21．求k的最大值，使得3⁷可以表示为k个连续正整数之和。

22．若a，b为整数，且24a²+1=b²。求证：a，b中有且仅有一个是5的倍数。

23．求证：若a是完全平方数，则a的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正约数的个数为奇数，则a是完全平方数。

24．求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。

25．若d为自然数，求证：2d-1，5d-1，13d-1不可能都是完全平方数。

26．加上400后就可以成为完全平方数的四位数有几个？

27．四个连续正整数的倒数和为19/20，则这四个整数的平方和是    。

28．求证：对任意正整数k，2k-1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。

29．若a，b是相邻两个自然数，c=a*b，求证：a²+b²+c²是某个奇数的平方。

30．使得m²+m+7是完全平方数的所有整数m的积是多少？

31．设正整数a，b，c，d满足a²+6²=b²， d²+10²=c²，求c²+d²-a²-b²的值。

32．使2⁸+2¹¹+2ⁿ为完全平方数的n的值。

33．若A1，A2，A3，……，Ak是n的全部正约数，求证n^k是完全平方数。

34．设正整数d不等于2，5，13，求证在集合{2，5，13，d}中可以找到两个不同的元素a，b，使得ab-1不是完全平方数。

35．求一个三位数，使它等于一个自然数n的平方，且各位数字之积等于n-1。

36．接连写出偶数个1形成的数A，再写出一半那么多个的4形成的数B。试证：A+B+1是完全平方数。

37．若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。

38．求使得2^m+3ⁿ为完全平方数的所有正整数m和n。

39．求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数(假定划掉的两个数字中有一个非零)。

40．设有四个整数2，5，13及d，其中d不等于2，5，13。证明：在四个数中存在两个数a，b使得a*b-1不是完全平方数。

41．若x，y为正整数，使得x²+y²-x能被2xy整除。求证：x为完全平方数。

42．证明：7111…12888…89是一个完全平方数(1和8均为n-1个)。

43．已知直角三角形的两直角边长分别为p，m，斜边长为n，且p，m，n均为正整数，l为质数。求证：2(p+m+1)是完全平方数。

44。有这样一个数组，由K个互不相同的自然数(不含0)组成，其中任一两个数之和都是完全平方数，称之为平方数组。当K=3时，求使这三个数之和为最小的一个平方数组。当K=4，5时又如何？

45．自然数N是完全平方数。N不是10的倍数，但把N最后两位数字擦去，剩下的刚巧还是完全平方数(例如N可以是121，把21擦去，剩下的1还是完全平方数)。问N最大是多少?

46．设1/a+1/b=1/c，其中a、b、c是正整数，且三个数的最大公因数是1，求证：
a+b是一个完全平方数

47.下列哪一个数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)

(A)3n²-3n+3．(B) 4n²+4n+4．(C)5n²-5n-5．(D)7n²-7n+7．(E)11n²+11n-11．

48．求证：四个连续的自然数的乘积不能表示成整数平方的形式.

49．求证：五个连续的自然数的乘积不能表示成整数平方的形式.

50. 求证：对于任意自然数n，n⁴+2n³+2n²+2n+1不是完全平方数.

51．假设n是自然数，d是2n²的正约数，求证：n²+d不是完全平方数

52. 若x和y都是自然数，试证：x²+y+1和y²+4x+3的值不能同时都是完全平方数．

53. 是否存在自然数x和y，使得x²+y和y²+x都是完全平方数？

54. 使得n²-19n+91为完全平方数的自然数n有多少个？