排序 np_P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题理解

P 问题

P类问题（P：polynominal，多项式）：存在多项式时间算法的问题。以排序为例，在排序这个大问题里，是可以找到一种时间复杂度为多项式o(n^2)，o(nlogn)的算法(如冒泡排序法，快速排序)来求解排序问题的，所以我们说排序问题是一个有多项式时间算法的问题。所以我们称，P类问题就是存在多项式时间算法的问题。

时间复杂度：o(1)<o(n)<o(nlgn)<o(n^2)<o(n^a)<o(e^n)<o(n!)

多项式级别：o(1)<o(n)<o(nlgn)<o(n^2)<o(n^a)

非多项式级别：o(e^n)<o(n!)，计算机难以承受

NP 问题

NP类问题（NP:Nondeterministic polynominal，非确定性多项式）：能在多项式时间内验证得出一个正确解的问题。P类问题是NP问题的子集，因为存在多项式时间解法的问题，总能在多项式时间内验证他。

著名的NP类问题举例：

旅行家推销问题：即有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的环路，这个环路路径小于a。我们知道这个问题如果单纯的用枚举法来列举的话会有(n-1)! 种，已经不是多项式时间的算法了，(注：阶乘算法比多项式的复杂)。那怎么办呢？我们可以用猜的，假设我人品好，猜几次就猜中了一条小于长度a的路径，我画画，好的，我得到了一条路径小于a的环路，问题解决了，皆大欢喜。可是，我不可能每次都猜的那么准，也许我要猜完所有种呢？所以我们说，这是一个NP类问题。也就是，我们能在多项式的时间内验证并得出问题的正确解，可是我们却不知道该问题是否存在一个多项式时间的算法，每次都能解决他(注意，这里是不知道，不是不存在)。

NPC 问题

NPC类问题（Nondeterminism Polynomial complete）：存在这样一个NP问题，所有的`NP`问题都可以约化成它。换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。其定义要满足2个条件：

它得是一个NP问题；
所有的NP问题都可以约化到它。

要证明NPC问题的思路就是：先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它。

NPH 问题

NP难问题（NP-hard问题）：它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广，NP-Hard问题没有限定属于NP），即所有的NP问题都能约化到它，但是他不一定是一个NP问题。

NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法，但它不列入我们的研究范围，因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上，由于NP-Hard放宽了限定条件，它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。