特征值和特征向量(Eigenvalues and Eigenvectors)
特征值和特征向量是矩阵的本质内容,在动态问题中发挥很重要的作用,本文讲得矩阵默认为方阵(square)。
1.几何意义
现在我们从几何的角度解释说明是特征值什么是特征向量。大多数的向量(x)乘上矩阵A时,即Ax,(下文中提到向量x乘上A就值Ax)都会改变向量的方向,但存在某些列外的矩阵x,它的方向和Ax的方向相同,这些向量就被称为特征向量。向量Ax为标量乘上原始向量x。
特征值的大小表明当特征向量x乘上A时拉伸、收缩、反转或者没有改变(e.g. 相应的的值为2,-1/2,-1,1)。当然特征值也可以为0。
表明特征向量在矩阵的零空间。如果A为单位矩阵,所有的向量满足
,所有的向量都是
的特征向量,所有的特征值为1.
2.特征值特征向量的求解
3.几个性质
4.总结
本文简单介绍了特征值和特征向量,上面的例子都是比较理想(一个矩阵有n个线性无关的特征值)。需要注意的,有些n*n矩阵没有n的相互独立特征向量,这样就不可能作为n维空间的一个基,同样的不能表示所有的n维向量。(这样的矩阵也不可能对角化)
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