CodeForces - 894B Ralph And His Magic Field(组合数学+思维)

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题目大意：给出一个 n * m 的棋盘，需要在棋盘内填充数字，使得每一行、每一列的乘积都等于 k，问有多少种方案

题目分析：因为 k 只可能是 1 或 -1，所以在棋盘内填充的数字无非也只有两种

首先需要特判一种特殊情况，就是 n 和 m 的奇偶性不同，且 k 为 -1，此时我们假设 n 为奇数，m 为偶数。因为 k 为 -1，所以每一行、每一列 -1 的个数必须为奇数个才行，所以对于行来说，共有（奇数 * 奇数）个 -1，而对于列来说，共有（奇数 * 偶数）个 -1，相互矛盾，故此时的答案为 0

剩下的情况肯定都是有解的了，具体想法如下，每次可以空出来最后一行和最后一列的元素先不填，然后让剩下的 ( n - 1 ) * ( m - 1 ) 个格子随便填充，最后用最后一列和最后一行来中和 -1 的个数即可，可以证明这是可行的且只有唯一一种情况与其对应

所以最后答案就是 $2^{(n-1)(m-1)}$

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;const int mod=1e9+7;LL q_pow(LL a,LL b)
{LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);LL n,m,k;scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);if(((n+m)&1)&&k==-1)puts("0");elseprintf("%lld\n",q_pow(q_pow(2,m-1),n-1));return 0;
}

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