CCF201409-5 拼图(30分)
试题编号: | 201409-5 |
试题名称: | 拼图 |
时间限制: | 3.0s |
内存限制: | 256.0MB |
问题描述: |
问题描述
给出一个n×m的方格图,现在要用如下L型的积木拼到这个图中,使得方格图正好被拼满,请问总共有多少种拼法。其中,方格图的每一个方格正好能放积木中的一块。积木可以任意旋转。
输入格式
输入的第一行包含两个整数n, m,表示方格图的大小。
输出格式
输出一行,表示可以放的方案数,由于方案数可能很多,所以请输出方案数除以1,000,000,007的余数。
样例输入
6 2
样例输出
4
样例说明
四种拼法如下图所示:
评测用例规模与约定
在评测时将使用10个评测用例对你的程序进行评测。
评测用例1和2满足:1<=n<=30,m=2。 评测用例3和4满足:1<=n, m<=6。 评测用例5满足:1<=n<=100,1<=m<=6。 评测用例6和7满足:1<=n<=1000,1<=m<=6。 评测用例8、9和10满足:1<=n<=10^15,1<=m<=7。 |
问题链接:CCF201409试题。
问题描述:(参见上文)。
问题分析:也许从数学上先推演一下比较好,这有点难。
看似可以用递归函数来实现,实际做起来没有那么容易。只得了30分,有胜于无而已。
对于输入的n和m,若n*m不是3的倍数,则肯定无法完全覆盖。同时,如果不是6的倍数则不能完全覆盖。
n和m哪个更大是不知道的,假设n<=m的情况下进行计算即可,若n>m将n和m交换即可。题意中则相反,是m<=n,实际上是一样的。
以下给出若各种拼图组合,可以在其基础上找出递归函数关系:
程序说明:程序有待改进,或者需要新的思路。
提交后得30分的C++语言程序如下:
/* CCF201409-5 拼图 */#include <iostream>using namespace std;const long long MOD = 1000000007;// 模幂计算函数
inline long long powermod(int x, int y, long long mod)
{long long ans = 1;while(y) {if(y & 1) {ans *= x;ans %= mod;}x *= x;x %= mod;y >>= 1;}return ans;
}long long puzzle(int n, int m)
{long long b1, b2;if(n <= 1 || m <= 1)return 0;// 面积不是3的倍数则不可能if((n * m) % 3 != 0)return 0;// 让n<=mif(n > m) {int temp = n;n = m;m = temp;}if(n == 2) { // 2 * 3 * k, k = m / 3// n=2时,m必须是3的倍数if(m % 3 != 0)return 0;return powermod(2, m / 3, MOD);} else if(n == 3) { // 3 * 2 * k, k = m / 2// n=3时,m必须是2的倍数if(m % 2 != 0)return 0;return powermod(2, m / 2, MOD);} else if(n == 4 && m == 6) { // 4 * 6b1 = puzzle(2, m); // 分为两半b2 = puzzle(2, 3); // 4*6异形数量return (b1 * b1 + b2) % MOD;} else if(n == 4) { // 4 * 3 * 2 * k, k = m / 6 或 4 * 3 * 2 * k + 4 * 3, k = m / 6b1 = powermod(puzzle(4, 6), m / 6, MOD);if(m % 6 == 0) {return b1;} else if(m % 6 == 3) {// 除了组合,还需要考虑排列b2 = puzzle(3, 4);return b1 * b2 * (m / 6 + 1) % MOD;} elsereturn 0;} else if(n == 5 && m == 6) {long long b1, b2;b1 = puzzle(3, m);b2 = puzzle(2, m);return b1 * b2 * 2 % MOD; // 64} else if(n == 5) {if(m % 6 != 0)return 0;return powermod(puzzle(5, 6), m / 6, MOD);} else if(n == 6 && m == 6) {// 上下分,左右分,4*6异形与2*6拼接,6*6异形(2种)b1 = puzzle(3, m); // 上下分,或左右分b2 = puzzle(2, 3); // 4*6异形数量return (b1 * b2 * 2 + b2 * puzzle(2, 6) * 4 + 2) % MOD;} else if(n == 6) {// 6*6不正确,这个计算就没有意义了return 0;} else {// 其他情况:不考虑return 0;}
}int main()
{int n, m;long long ans;cin >> n >> m;ans = puzzle(n, m);cout << ans << endl;return 0;
}
改进:上述程序提交后只得30分,所以进行了进一步的分析与改进:
1.使得方格图正好被拼满,需要m*n是6的倍数,因为积木块面积为3。程序中35-37行代码改为:
// 方格图被完全拼满,面积不是6的倍数则不可能if((n * m) % 6 != 0)return 0;
2.根据题意,m最大为7,即只需要考虑m=2,3,4,5,6,7的情况。这也是得100分的希望所在。
所以,程序中只需要考虑n=2,3,4,5,6,7的情况(程序中,与题意相比,n和m互换)。
3.程序中增加n=7的代码,需要考虑6*7和7*m的情况。对于6*7的方格图,可以由6*2和6*5的方格图组成,也可以由6*3和6*4的方格图组成。
改进后提交得30分的C++语言程序如下:
/* CCF201409-5 拼图 */#include <iostream>using namespace std;const long long MOD = 1000000007;// 模幂计算函数
inline long long powermod(int x, int y, long long mod)
{long long ans = 1;while(y) {if(y & 1) {ans *= x;ans %= mod;}x *= x;x %= mod;y >>= 1;}return ans;
}long long puzzle(int n, int m)
{long long b1, b2;if(n <= 1 || m <= 1)return 0;// 方格图被完全拼满,面积不是6的倍数则不可能if((n * m) % 6 != 0)return 0;// 让n<=mif(n > m) {int temp = n;n = m;m = temp;}if(n == 2) { // 2 * 3 * k, k = m / 3// n=2时,m必须是3的倍数if(m % 3 != 0)return 0;return powermod(2, m / 3, MOD);} else if(n == 3) { // 3 * 2 * k, k = m / 2// n=3时,m必须是2的倍数if(m % 2 != 0)return 0;return powermod(2, m / 2, MOD);} else if(n == 4 && m == 6) { // 4 * 6b1 = puzzle(2, m); // 分为两半b2 = puzzle(2, 3); // 4*6异形数量return (b1 * b1 + b2) % MOD;} else if(n == 4) { // 4 * 3 * 2 * k, k = m / 6 或 4 * 3 * 2 * k + 4 * 3, k = m / 6b1 = powermod(puzzle(4, 6), m / 6, MOD);if(m % 6 == 0) {return b1;} else if(m % 6 == 3) {// 除了组合,还需要考虑排列b2 = puzzle(3, 4);return b1 * b2 * (m / 6 + 1) % MOD;} elsereturn 0;} else if(n == 5 && m == 6) {long long b1, b2;b1 = puzzle(3, m);b2 = puzzle(2, m);return b1 * b2 * 2 % MOD; // 64} else if(n == 5) {if(m % 6 != 0)return 0;return powermod(puzzle(5, 6), m / 6, MOD);} else if(n == 6 && m == 6) {// 上下分,左右分,4*6异形与2*6拼接,6*6异形(2种)b1 = puzzle(3, m); // 上下分,或左右分b2 = puzzle(2, 3); // 4*6异形数量return (b1 * b2 * 2 + b2 * puzzle(2, 6) * 4 + 2) % MOD;} else if(n == 6 && m == 7) {b1 = puzzle(2, 6) * puzzle(5, 6);b2 = puzzle(3, 6) * puzzle(4, 6);return (b1 + b2) % MOD;} else if(n == 6) {// 6*6不正确,这个计算就没有意义了return 0;} else if(n == 7) {return powermod(puzzle(6, 7), m / 6, MOD);} else {// 其他情况:不考虑return 0;}
}int main()
{int n, m;long long ans;cin >> n >> m;ans = puzzle(n, m);cout << ans << endl;return 0;
}
经过改进的程序仍然的30分,增加的有关7*m的代码完全不得分。
由于6*7的方格图,可以由6*2和6*5的方格图组成,也可以由6*3和6*4的方格图组成,那应该是以下几种方格图的组合数计算有错误:
6*2
6*5
6*3
6*4
经过仔细考察和梳理,终于发现4*6至少漏算了一个情况,至少应该如下图所示:
上述程序的56-50行改为(异形数量*2):
} else if(n == 4 && m == 6) { // 4 * 6b1 = puzzle(2, m); // 分为两半b2 = puzzle(2, 3) * 2; // 4*6异形数量return (b1 * b1 + b2) % MOD;
改进后提交只得20分,分数更少了,怀疑测试数据有BUG。
下一步只能考虑先改进6*6的情形了。
转载于:https://www.cnblogs.com/tigerisland/p/7564111.html
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