对于一个多元函数

，用最速下降法(又称梯度下降法)求其极小值的迭代格式为

其中

为负梯度方向，即最速下降方向，αkαk为搜索步长。

一般情况下，最优步长αkαk的确定要用到线性搜索技术，比如精确线性搜索，但是更常用的是不精确线性搜索，主要是Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。

为了调用的方便，编写一个Python文件，里面存放线性搜索的子函数，命名为linesearch.py，这里先只编写了Goldstein线性搜索的函数，关于Goldstein原则，可以参看最优化课本。

线性搜索的代码如下(使用版本为Python3.3)：

'''

线性搜索子函数

'''

import numpy as np

import random

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

flag=0

a=0

b=alpham

fk=f(x)

gk=df(x)

phi0=fk

dphi0=np.dot(gk,d)

alpha=b*random.uniform(0,1)

while(flag==0):

newfk=f(x+alpha*d)

phi=newfk

if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):

if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):

flag=1

else:

a=alpha

b=b

if(b

alpha=(a+b)/2

else:

alpha=t*alpha

else:

a=a

b=alpha

alpha=(a+b)/2

return alpha

上述函数的输入参数主要包括一个多元函数f，其导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，返回值是根据Goldstein准则确定的搜索步长。

我们仍以Rosenbrock函数为例，即有

于是可得函数的梯度为

最速下降法的代码如下：

"""

最速下降法

Rosenbrock函数

函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2

梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)

"""

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import random

import linesearch

from linesearch import goldsteinsearch

def rosenbrock(x):

return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2

def jacobian(x):

return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])

X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)

X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)

[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)

f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数

plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线

def steepest(x0):

print('初始点为:')

print(x0,'\n')

imax = 20000

W=np.zeros((2,imax))

W[:,0] = x0

i = 1

x = x0

grad = jacobian(x)

delta = sum(grad**2) # 初始误差

while i10**(-5):

p = -jacobian(x)

x0=x

alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)

x = x + alpha*p

W[:,i] = x

grad = jacobian(x)

delta = sum(grad**2)

i=i+1

print("迭代次数为:",i)

print("近似最优解为:")

print(x,'\n')

W=W[:,0:i] # 记录迭代点

return W

x0 = np.array([-1.2,1])

W=steepest(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹

plt.show()

为了实现不同文件中函数的调用，我们先用import函数导入了线性搜索的子函数，也就是下面的2行代码

import linesearch

from linesearch import goldsteinsearch

当然，如果把定义goldsteinsearch函数的代码直接放到程序里面，就不需要这么麻烦了，但是那样的话，不仅会使程序显得很长，而且不便于goldsteinsearch函数的重用。

此外，Python对函数式编程也支持的很好，在定义goldsteinsearch函数时，可以允许抽象的函数f，df作为其输入参数，只要在调用时实例化就可以了。与Matlab不同的是，传递函数作为参数时，Python是不需要使用@将其变为函数句柄的。

运行结果为

初始点为:

[-1.2 1. ]

迭代次数为: 1504

近似最优解为:

[ 1.00318532 1.00639618]

迭代点的轨迹为

由于在线性搜索子程序中使用了随机函数，初始搜索点是随机产生的，因此每次运行的结果不太相同，比如再运行一次程序，得到

初始点为:

[-1.2 1. ]

迭代次数为: 1994

近似最优解为:

[ 0.99735222 0.99469882]

所得图像为

以上这篇用Python实现最速下降法求极值的方法就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持我们。

时间： 2019-07-08