向量空间 内积空间 欧氏空间 希尔伯特空间
向量空间
向量空间一个最大的特征是对加法运算和数乘运算封闭。n维向量空间的定义是n维实向量全体构成的集合,同时考虑到向量的线性运算,成为实n维向量空间,用Rn\R^nRn表示,显然Rn\R^nRn中任意两个向量的和向量还是Rn\R^nRn中的向量,Rn\R^nRn中任意一个向量与一个实数的乘积也是Rn\R^nRn中的向量。
定义了距离后,我们再加上线性结构,如向量的加法、数乘,使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;数乘的交换律、单位一;数乘与加法的结合律(两个)共八点要求,从而形成一个线性空间,这个线性空间就是向量空间。
欧氏空间
欧氏空间也称为欧几里得空间,是带有“内积”的实数域上的一类向量空间。引入内积的目的是能够计算两点间的距离和夹角。向量空间中的向量对应于欧几里得平面中的点,在向量空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。
欧氏空间的定义:
设V是数域P上的线性空间,定义一个代数运算(V×V->P),记为 (ɑ,ß) 。如果(ɑ,ß)满足下列条件:
1) 对称性:(ɑ,ß) = (ß,ɑ);
2) 可加性:(ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ);
3) 齐次性:(kɑ,ß) = k(ɑ,ß);
4) 非负性:(ɑ,ɑ)≥0,当且仅当ɑ=0时(ɑ,ɑ)=0,
其中k是数域P中的任意数,ɑ、ß、γ是V中的任意元素,则称(ɑ,ß)为ɑ与ß的内积,定义了内积的线性空间V称为内积空间,称实数域R上的内积空间V为Euclid空间(欧式空间)。
内积空间
内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积,或标量积,或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。
希尔伯特空间
希尔伯特空间即是完备的内积空间,首先说明一下完备性。完备空间或者完备度量空间是指空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。柯西序列中的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切的说,在去掉优先个元素后,可以使得余下的元素中的任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正常数。
欧几里德空间的一个推广,其不再局限于有限维的情形。又称无穷维欧化空间,
与欧几里德空间相仿,希尔伯特空间也是一个内积空间,其上有距离和角的概念(及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念)。此外,希尔伯特空间还是一个完备的空间,其上所有的柯西列等价于收敛列,从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式,而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公设化数学和量子力学的关键性概念之一。
总结
- 线性完备内积空间称作希尔伯特空间
- 线性完备赋范空间称作巴拿赫空间
- 有限维线性内积空间称作欧几里得空间
参考链接1
参考链接2
参考链接3(这篇写的比较详细)
向量空间 内积空间 欧氏空间 希尔伯特空间相关推荐
- 向量空间 内积空间 线性空间 欧氏空间 希尔伯特空间
向量空间 向量空间一个最大的特征是对加法运算和数乘运算封闭.n维向量空间的定义是n维实向量全体构成的集合,同事考虑到向量的线性运算,成为实n维向量空间,用RnR^n表示,显然RnR^n中任意两个向量的 ...
- 欧氏空间内积定义_向量空间、赋范空间、内积空间、欧式空间、希尔伯特空间...
从数学的本质来看,最基本的集合有两类:线性空间(有线性结构的集合).度量空间(有度量结构的集合).线性空间与度量空间是两个不同的概念,没有交集. 一. 线性空间 1. 线性空间的定义 定义:设V是一个 ...
- 欧几里得空间 希尔伯特空间
在数学中有许多空间表示,比如向量空间.内积空间.欧式空间以及希尔伯特空间等. 1.距离的定义 具体的距离:实际上距离除了我们经常用到的直线距离外,还有向量距离, 函数距离. 曲面距离.折线距离等等,这 ...
- 公众号php空间是啥意思,什么是“希尔伯特空间”?
刨根问底儿拦不住!大卫·希尔伯特 大卫·希尔伯特(德语:David Hilbert [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt],1862年1月23日-1943年2月14日),德国数学家,是19世纪和20世纪初 ...
- 函数空间一览:从线性空间到再生核希尔伯特空间
文章目录 0. 基础概念 0.1 代数系统 0.2 数域 0.3 完备的空间 1. 线性空间/向量空间 2. 度量空间 3. 赋范向量空间 4. 内积空间 5. 巴拿赫空间 6. 希尔伯特空间 7. ...
- 有没有人被向量空间、内积空间、欧式空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间概念折磨的?
第一篇,记录一下.看到CSDN年度描述说这个号有15年代码龄,惭愧,都是业余兴趣看看而已,啥都不会 问个问题,有没有人被向量空间.内积空间.欧式空间.希尔伯特空间.巴拿赫空间这些概念折磨的够呛 ,被吓 ...
- 欧氏空间距离和内积_线性空间,度量空间,赋范空间,线性赋范空间,内积空间,巴拿赫空间以及希尔伯特空间、拓扑空间...
1. 距离.向量空间.度量空间.线性度量空间 距离包括各个点之间的距离,向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离等. 距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性: 1)元素之 ...
- 一般向量空间的基变换_从希尔伯特空间的角度看线性变换的一般思想和问题
一般线性变换以及傅里叶变换,欧氏变换,仿射变换,余弦变换,小波变换,拉普拉斯变换,Z变换,希尔伯特变换等等这些所谓的变换太多了,这些到底搞得是什么?怎么像云像雾又像风呢?怎么才能彻底理解它们?它们究竟 ...
- 欧氏空间距离和内积_欧式空间、内积空间和赋范空间之间的关系
满意答案 stalbn 2014.05.18 采纳率:44% 等级:12 已帮助:6557人 (1)赋范向量空间是具有"长度"概念的向量空间.是通常的欧几里德空间 Rn 的推 ...
- 线性空间,度量空间,赋范空间,线性赋范空间,内积空间,巴拿赫空间以及希尔伯特空间、拓扑空间
1. 距离.向量空间.度量空间.线性度量空间 距离包括各个点之间的距离,向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离等. 距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性: 1)元素之 ...
最新文章
- python实时处理_python实时处理log文件脚本
- 国产半导体路在何方,瓦森纳与光刻机你了解多少
- mysql增删改查的命令_MySql增删改查命令
- 不会跳回到微博认定申请书
- profile matlab,使用profile功能对Matlab性能调优
- RocketMQ角色介绍
- php null截断 漏洞,CVE-2015-3412,CNNVD-201507-164|PHP NULL Character 安全漏洞 - 信息安全漏洞门户 VULHUB...
- 用纸筒做机器人_365天,每天都可以玩出新花样,卷纸筒就是这么牛的神器!
- vb脚本从入门到精通_sqlmap从入门到精通第七章720 绕过WAF脚本space2morecommentamp;space2morehash...
- Android Studio 1.1.0汉化初步出炉!
- python实现 Floyd算法求解最短路径距离问题
- Atitit db query op shourt code lib list 数据库查询类库最佳实践 目录 1.1. Jpa	1 1.2. Dbutil	1 1.3. Mybtis trouble
- CSS进阶(2)—— width,height如此高深,难道你真懂得
- Matlab:数模12-聚类分析
- 字节跳动笔试题-前端(互娱)
- Android TextView 上下滑动 左右滑动设置
- 揭秘潜伏在QQ群里面的低调高收入者
- Phaser 3 入门实例教程
- SqlServer数据库常用sql语句
- 打开任务管理器只显示任务 不显示进程了怎么办?
热门文章
- Java编程输出你的年龄和姓名
- 什么是北大核心期刊,一篇文章带你彻底弄懂
- 手机上做c语言作业的软件下载,c语言编程软件手机版下载-C语言编程 安卓版v1.0.2-PC6安卓网...
- 《麦肯锡方法》第五部分 麦肯锡校友的忠告-思维导图
- 课设错误调试(一)No qualifying bean of type
- 如果找活跃IP段!抓肉鸡必须的!
- 网络安全应急响应-常用工具
- 【Ubuntu和本地电脑互传文件】
- 增强安全性、支持跨页逻辑关系设定的电信运营级EnableQ在线问卷调查引擎V1.60来了......
- MSDN 精简版 1.6