第一章 概率论基本概念(a)
1. 随机实验
随机实验满足如下条件:
- 可以重复的进行实验(重复).
- 每次实验结果不止一个,且知道实验的所有可能结果(已知).
- 实验之前不能确定实验结果到底会出现所有结果中的哪一种情况(未知).
满足以上三条特征,称之为随机实验.
例1.1:
抛一颗骰子,观察出现的点数.
- 实验可能结果:{1,2,3,4,5,6}.
- 在抛掷之前不能确定为哪个数.
- 这个实验在相同条件下可以重复的进行.
例1.2:
在一批灯泡中抽取任意一只,测试它的温度.
- 设灯泡的温度为 a,则有 {a1,a2,a3,…an}.
- 满足可重复抽取
如:我们可以把当前抽取的灯泡再放回,再抽取随机抽取,设这种重复抽取次数为 n ,则我们可以重复抽取的次数为 n . - 在实验之前,我们不确定得到的温度到底是多少,不过温度属于{a1,a2,a3,…an}中的某个值.
2. 样本空间和随机事件
(一)样本空间
- 在随机实验中的所有结果所组成的集合,我们通常叫做为
E
的样本空间,常用Ω表示- 样本空间里面的元素,通常称为样本点.
例2.1:
抛一颗骰子,观察出现的点数.
设本次实验为E1,样本空间为S1,则有:
S1={1,2,3,4,5,6};
可以看出,在满足随机实验后,随机实验第二条的集合就是样本空间
(二)随机事件
- 随机试验
E
的样本空间S
的子集为 随机事件,也简称 事件.
如:实验E1的样本空间S1={1,2,3,4,5,6}.
则随机事件有:{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,2,3}…
- 在每一次试验结束后,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一 事件发生.
如:样本空间S1={1,2,3,4,5,6},随机事件 Sk1={1,2,3},在一次实验中,出现了样本点{1},{1}∈Sk1,称为事件Sk1发生.
- 由一个样本点组成的单点集,称为 基本事件.
如:样本空间 E1={1,2,3,4,5,6},
设基本事件为B1,则B1={{1},{2},{3},{4},{5},{6}},
也可以这样说,样本空间 E1的基本事件有 {1},{2},{3},{4},{5},{6}.
(三) 事件之间的关系与事件的运算
(A) 事件之间的关系
设试验 E 的样本空间为 S,而 A,B,Ak(k=1,2,…)是 S 的子集.
(1)包含
- A ⊂ B
事件B
包含事件A
.
事件A
发生比必导致事件B
发生.
如下图:B 在 A 的内部,就可以表示为 B ⊂ A.
- A ⊂ B 且 B ⊂ A,有 A = B,称为事件 A 和事件 B 相等.
(2)事件之间的交集
- 事件 A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B },称为事件 A 与事件 B 的 和事件,当且仅当 A,B 中至少一个发生时,事件 A ∪ B 发生.
如下图:所有的橙色部分表示为 A ∪ B.
- 若 A ∪ B = S 且 A ∪ B = ∅,则称事件 A 与 事件 B互为 逆事件,也称事件 A 与事件 B 为 对立事件.
◆ 在一次试验中,事件 A 和事件 B 中必定有一个发生,且仅有一个发生.
◆ A 的对立事件为 ~A, ~A = S - A.
如下图:表示为 B ∪ ~B = S, B ∩ ~B = ∅,蓝色部分为 ~B,橙色部分为 B,S 为整个样本空间.
(3)事件之间的并集
事件 A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B } ,称事件 A 与事件 B 的 积事件,当事件 A,B 同时发生时,事件 A ∩ B 发生.
A ∩ B 也记作 AB.
如下图:深色部分表示为 A ∩ B.
若 A ∩ B = ∅,则称事件 A 与实践 B 是 互不相容的,或 互斥 的.
◆ 事件 A 和 B 不能同时发生.
◆ 基本事件两两互不相容.
如下图:
(4)差事件
- 事件 A - B = { x | x ∈ A 且 x ∉ B },称为事件 A 与事件 B 的 差事件.
当事件 A 发生 B 不发生时,事件 A - B 发生.
如下图:蓝色部分为 A - B.
(B)事件之间的运算
交换律:A ∪ B = B ∪ A;A ∪ B = B ∪ A.
结合律:A ∩ ( B ∪ C )=( A ∪ B )∩ C.
A ∪( B ∩ C )=( A ∩ B )∪ C.
分配律:A ∪( B ∩ C)=( A ∩ B)∪( A ∩ B ).
A ∩ ( B ∪ C )=(A ∪ B )∩( A ∪ C ).
德摩根律:
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