图论（Tarjan算法与无向图）

一、基础

1、搜索树：在无向图中，我们以某一个节点 x 出发进行深度优先搜索，每一个节点只访问一次，所有被访问过的节点与边构成一棵树，称为无向连通图的搜索树

1、割点：若从图中删除节点x（以及所有与x关联的边之后），图将被分成不相连的子图，那么称 x 为图的割点

2、割边（桥）：若从图中删除边e之后，图将分裂成两个不相连的子图，那么称e为图的割边或桥

3、时间戳：用来标记图中每个节点在进行深度优先搜索时被访问的时间顺序，用 dfn[x] 来表示

4、追溯值：表示从当前节点x作为根节点出发，能够访问到的所有节点中，时间戳最小的值，用 low[x]来表示

计算追溯值：

(1)、先令low[x] = dfn[x]

(2)、若搜索树上x是y的父节点，则令low[x] = min(low[x], low[y])

(3)、若无向边(x,y)不是搜索树上的边，则令low[x] = min(low[x], dfn[y])

5、双连通分量：若一张无向连通图不存在割点，则称它为点双联通图，记为v-DCC；若一张无向连通图不存在桥，则称它为边双连通图，记为e-DCC

6、强连通分量：对于图中任意两个结点x、y，既存在从x到y的路径，也存在从y到x的路径，则称该图为强连通图；有向图的极大连通子图被称为强连通分量

7、Tarjan算法是基于深度优先搜索的算法，用于求解图的连通性问题。Tarjan算法可以在线性时间内求出无向图的割点与桥，进一步地可以求解无向图的双连通分量；同时，也可以求解有向图的强连通分量、必经点与必经边

二、求割边

一条边(u,v)是割边，当且仅当(u,v)为树枝边(即非负边)，且满足：dfn(u)<low(v)（没有重边）

公式说明：从v的子树出发，在不经过(u, v)的前提下，不管走哪条路，都无法到达u或比u更早访问的结点。也就是说，u的儿子v之间只有一条边（无重边），且v点只能到u点到不了u点前

int dfn[maxn], low[maxn], bridge[maxn];
int to[maxn << 1], nex[maxn << 1], head[maxn];
int root, total, cnt;       //邻接表从2开始
void add(int u, int v)
{to[++cnt] = v;nex[cnt] = head[u];head[u] = cnt;
}
void Tarjan(int u, int father)
{dfn[u] = low[u] = ++total;for (int i = head[u]; i; i = nex[i]){int v = to[i];if (!dfn[v]){Tarjan(v, i);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] > dfn[u])bridge[i] = bridge[i ^ 1] = 1;    //记录路径}else if (i != (father ^ 1))         //判断重边{low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}
}
void solve()
{int x, y, n, m;cin >> n >> m;cnt = 1;for (int i = 0; i < m; i++){cin >> x >> y;add(x, y);add(y, x);}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!dfn[i])Tarjan(i, 0);}int ans = 0;for (int i = 2; i < cnt; i += 2) //邻接表存边从2开始{if (bridge[i])ans++;}cout << ans << '\n';for (int i = 2; i < cnt; i += 2){if (bridge[i])cout << to[i ^ 1] << "->" << to[i];}
}

三、求边双连通分量

在求出所有桥的基础上，把桥都删去，就可以得到边双连通分量

实现：先用Tarjan算法标记所有桥边，然后对整个无向图进行dfs，历遍过程不访问桥边，由此划分出每个连通块

//在求割边的基础上加上以下代码
int c[maxn], dcc;       //存储每个点的归属，和dcc的数量
void dfs(int x)
{c[x] = dcc;for (int i = head[x]; i; i = nex[i]){int y =to[i];if (c[y] || bridge[i])continue;dfs(y);}
}//下面加在main
for (int i = 1; i <= n; i++)
{if (!c[i]){dcc++;dfs(i);}
}
cout << dcc << '\n';
for (int i = 1; i <= n; i++)
{cout << i << " belongs to " << c[i] << '\n';
}

四、e-DCC缩点

在求出e-DCC的基础上，把每个e-DCC缩成一个点构成一棵新的树，存在邻接表中

int eto[maxn << 1], enex[maxn << 1], ehead[maxn], ecnt;
//在求出e-DCC的基础上加入以下代码
void add_dcc(int u, int v)
{eto[++ecnt] = v;enex[ecnt] = ehead[u];ehead[u] = ecnt;
}//下面代码加到main
ecnt = 1;
for (int i = 2; i <= cnt; i++)
{int x = to[i ^ 1], y = to[i];if (c[x] == c[y])continue;add_dcc(c[x], c[y]);
}
for (int i = 2; i < ecnt; i+=2)
{cout << eto[i ^ 1] << eto[i];    //输出边
}

五、求割点

如果x不是搜索树的根节点，则x是割点当且仅当搜索树上存在x的一个子节点y，满足：dfn(x)<=low(y)

int  dfn[maxn], low[maxn], point[maxn];
int head[maxn], to[maxn << 1], nex[maxn << 1];
int cnt, total, root;
void add(int u, int v)
{to[++cnt] = v;nex[cnt] = head[u];head[u] = cnt;
}
void Tarjan(int u)
{dfn[u] = low[u] = ++total;int child = 0;for (int i = head[u]; i; i = nex[i]){int v = to[i];if (!dfn[v]){Tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u] && u != root)point[u] = 1;if (u == root && ++child >= 2)point[u] = 1;}elselow[u] = min(low[u], dfn[v]);}
}
void solve()
{int x, y, n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){cin >> x >> y;add(x, y);add(y, x);}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!dfn[i]){root = i;Tarjan(i);}}int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){if (point[i])ans++;}cout << ans << '\n';for (int i = 1; i <= n; i++){if (point[i])cout << i << ' ';}
}

六、求点双连通分量

点双连通分量不是将割点删去后的剩余连通块，而是剩余连通块加上割点

我们将深搜时遇到的所有边加入到栈里面（第一次访问一个结点时入栈），当找到一个割点的时候（dfn(x)<=low(y)），就将这个割点往下走到的所有边弹出（从x开始向外弹出，直到y被弹出），而这些点构成的就是一个点双连通分量

int  dfn[maxn], low[maxn], point[maxn];
int head[maxn], to[maxn << 1], nex[maxn << 1];
int cnt, total, root;
stack<int>stk;
vector<int>dcc[maxn];
int vcnt;
void add(int u, int v)
{to[++cnt] = v;nex[cnt] = head[u];head[u] = cnt;
}
void Tarjan(int u)
{dfn[u] = low[u] = ++total;stk.push(u);if (u == root && head[u] == 0){dcc[++vcnt].push_back(u);return;}int child = 0;for (int i = head[u]; i; i = nex[i]){int v = to[i];if (!dfn[v]){Tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]){if (u != root)point[u] = 1;vcnt++;int temp;do{temp = stk.top();stk.pop();dcc[vcnt].push_back(temp);} while (temp != v);dcc[vcnt].push_back(u);}if (u == root && ++child >= 2)point[u] = 1;}elselow[u] = min(low[u], dfn[v]);}
}
void solve()
{int x, y, n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){cin >> x >> y;add(x, y);add(y, x);}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!dfn[i]){root = i;Tarjan(i);}}cout << vcnt << '\n';for (int i = 1; i <= vcnt; i++){cout << dcc[i].size() << ' ';for (int j = 0; j < dcc[i].size(); j++){cout << dcc[i][j] << ' ';}cout << '\n';}
}

七、v-DCC缩点

由于一个割点可能属于多个点双连通分量，因此我们建一个包含p（割点数量）+t（v-DCC数量）个结点的新图，由每个割点连接v-DCC

//在求出v-DCC的基础上
int vto[maxn << 1], vnex[maxn << 1], vhead[maxn], vvcnt;
int newid[maxn],c[maxn];            //给割点的new id
void add_dcc(int u, int v)
{vto[++vvcnt] = v;vnex[vvcnt] = vhead[u];vhead[u] = vvcnt;
}//在main中加入以下代码
int num = vcnt;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{if (point[i])newid[i] = ++num;
}
vvcnt = 1;
for (int i = 1; i <= vcnt; i++)
{for (int j = 0; j < dcc[i].size(); j++){int x = dcc[i][j];if (point[x]){add_dcc(i, newid[x]);add_dcc(newid[x], i);}elsec[x] = i;}
}
for (int i = 2; i < vvcnt; i += 2)
{cout << vto[i ^ 1] << ' ' << vto[i] << '\n';
}